Номер 6, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 6, страница 102.

Условие.

6. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения $24^n - 1$ является простым числом.

Решение.

Нам необходимо найти все натуральные значения $n$, при которых выражение $24^n - 1$ является простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$.

Применим эту формулу к выражению $24^n - 1$:

$24^n - 1 = (24-1)(24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$

$24^n - 1 = 23 \cdot (24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$

Таким образом, мы представили выражение $24^n - 1$ в виде произведения двух множителей: $23$ и $(24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$.

Для того чтобы это произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому простому числу.

Первый множитель равен $23$. Это простое число, и оно очевидно не равно 1. Следовательно, второй множитель должен быть равен 1:

$24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1 = 1$

Рассмотрим это равенство, учитывая, что $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

1. Если $n = 1$, то левая часть равенства состоит из одного слагаемого: $24^{1-1} = 24^0 = 1$. Равенство $1 = 1$ выполняется.

2. Если $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), то в сумме $(24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$ будет как минимум два положительных слагаемых. Например, при $n=2$ сумма равна $24^1 + 1 = 25$. Так как все слагаемые положительны, при $n > 1$ сумма всегда будет больше 1.

Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором выполняется условие, — это $n=1$.

Проверим, является ли значение выражения $24^n - 1$ простым числом при $n=1$:

$24^1 - 1 = 24 - 1 = 23$

Число 23 является простым.

Ответ: 1.