Номер 6, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 5. Основы теории делимости. Вариант 2. Контрольные работы - номер 6, страница 102.
№6 (с. 102)
Условие. №6 (с. 102)
скриншот условия

6. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения $24^n - 1$ является простым числом.
Решение. №6 (с. 102)
Нам необходимо найти все натуральные значения $n$, при которых выражение $24^n - 1$ является простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.
Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$.
Применим эту формулу к выражению $24^n - 1$:
$24^n - 1 = (24-1)(24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$
$24^n - 1 = 23 \cdot (24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$
Таким образом, мы представили выражение $24^n - 1$ в виде произведения двух множителей: $23$ и $(24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$.
Для того чтобы это произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому простому числу.
Первый множитель равен $23$. Это простое число, и оно очевидно не равно 1. Следовательно, второй множитель должен быть равен 1:
$24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1 = 1$
Рассмотрим это равенство, учитывая, что $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.
1. Если $n = 1$, то левая часть равенства состоит из одного слагаемого: $24^{1-1} = 24^0 = 1$. Равенство $1 = 1$ выполняется.
2. Если $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), то в сумме $(24^{n-1} + 24^{n-2} + \dots + 24 + 1)$ будет как минимум два положительных слагаемых. Например, при $n=2$ сумма равна $24^1 + 1 = 25$. Так как все слагаемые положительны, при $n > 1$ сумма всегда будет больше 1.
Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором выполняется условие, — это $n=1$.
Проверим, является ли значение выражения $24^n - 1$ простым числом при $n=1$:
$24^1 - 1 = 24 - 1 = 23$
Число 23 является простым.
Ответ: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 102 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 102), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.