Номер 4, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 2. Контрольные работы - номер 4, страница 103.

Условие.

4. Решите неравенство:

1) $|x^2 - 49| > 0;$

2) $|2x + 8| \ge 4;$

3) $|6x - 1| \le 4x + 7.$

Решение.

1) $|x^2 - 49| > 0$

Модуль любого выражения является неотрицательной величиной, то есть $|a| \geq 0$ для любого $a$.

В данном неравенстве требуется, чтобы модуль выражения был строго больше нуля. Это означает, что значение выражения под знаком модуля не может быть равно нулю, так как $|0| = 0$, что не удовлетворяет условию $ > 0$.

Следовательно, неравенство $|x^2 - 49| > 0$ равносильно условию $x^2 - 49 \neq 0$.

Найдем значения $x$, при которых выражение равно нулю:

$x^2 - 49 = 0$

$x^2 = 49$

$x_1 = 7$, $x_2 = -7$

Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=7$ и $x=-7$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.

2) $|2x + 8| \geq 4$

Неравенство вида $|f(x)| \geq a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \geq a$ или $f(x) \leq -a$.

Применим это правило к нашему неравенству, получим совокупность:

$\left[ \begin{gathered} 2x + 8 \geq 4 \\ 2x + 8 \leq -4 \end{gathered} \right.$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$2x + 8 \geq 4$

$2x \geq 4 - 8$

$2x \geq -4$

$x \geq -2$

Второе неравенство:

$2x + 8 \leq -4$

$2x \leq -4 - 8$

$2x \leq -12$

$x \leq -6$

Решением совокупности является объединение решений этих двух неравенств, то есть $x \leq -6$ или $x \geq -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [-2; +\infty)$.

3) $|6x - 1| \leq 4x + 7$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} 6x - 1 \leq 4x + 7 \\ 6x - 1 \geq -(4x + 7) \end{cases}$

Это преобразование возможно только при условии, что правая часть неравенства неотрицательна, так как модуль в левой части всегда неотрицателен. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + 7 \geq 0$

$4x \geq -7$

$x \geq -\frac{7}{4}$

$x \geq -1.75$

Теперь решим систему неравенств:

1) $6x - 1 \leq 4x + 7$

$6x - 4x \leq 7 + 1$

$2x \leq 8$

$x \leq 4$

2) $6x - 1 \geq -(4x + 7)$

$6x - 1 \geq -4x - 7$

$6x + 4x \geq -7 + 1$

$10x \geq -6$

$x \geq -\frac{6}{10}$

$x \geq -0.6$

Решением системы является пересечение решений $x \leq 4$ и $x \geq -0.6$, что дает промежуток $[-0.6; 4]$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ $x \geq -1.75$. Найдем пересечение решения системы с ОДЗ:

$[-0.6; 4] \cap [-1.75; +\infty) = [-0.6; 4]$

Ответ: $x \in [-0.6; 4]$.