Номер 2, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа. Вариант 2. Контрольные работы - номер 2, страница 104.

Условие.

2. Упростите выражение:

1) $8\sqrt{3} - 5\sqrt{12} + 4\sqrt{75};$

2) $\frac{a - 5}{a + 2\sqrt{5a} + 5}.$

Решение.

1) Чтобы упростить выражение $8\sqrt{3} - 5\sqrt{12} + 4\sqrt{75}$, приведем все члены к общему виду, вынеся множители из-под знака корня.
Разложим подкоренные выражения на множители:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$;
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$8\sqrt{3} - 5 \cdot (2\sqrt{3}) + 4 \cdot (5\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 20\sqrt{3}$.
Выполним действия с коэффициентами при общем множителе $\sqrt{3}$:
$(8 - 10 + 20)\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$.
Ответ: $18\sqrt{3}$

2) Чтобы упростить дробь $\frac{a-5}{a+2\sqrt{5a}+5}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель $a-5$ представляет собой разность квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $5 = (\sqrt{5})^2$. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a - 5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})$.
Знаменатель $a + 2\sqrt{5a} + 5$ является полным квадратом. Используем формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{5}$:
$a + 2\sqrt{5a} + 5 = (\sqrt{a})^2 + 2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{5})^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{5})$:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})}{(\sqrt{a} + \sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$.
Данное выражение определено при $a \ge 0$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{5}}{\sqrt{a}+\sqrt{5}}$