Номер 6, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7. Квадратные корни. Действительные числа. Вариант 2. Контрольные работы - номер 6, страница 104.

Условие.

6. Внесите множитель под знак корня:

1) $-mn\sqrt{-n}$, если $m > 0$;

2) $(4-y)\sqrt{\frac{1}{y^2 - 8y + 16}}$

Решение.

1)

Чтобы внести множитель $-mn$ под знак корня в выражении $-mn\sqrt{-n}$ при условии $m > 0$, сначала определим область допустимых значений и знак множителя.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-n \ge 0$, что означает $n \le 0$.

Теперь определим знак множителя $-mn$. Нам дано, что $m > 0$. Поскольку $n \le 0$, произведение $mn \le 0$. Следовательно, множитель $-mn = - (mn) \ge 0$.

Так как множитель $-mn$ является неотрицательным, мы вносим его под знак корня, возводя в квадрат и умножая на подкоренное выражение:

$-mn\sqrt{-n} = \sqrt{(-mn)^2 \cdot (-n)} = \sqrt{m^2n^2(-n)} = \sqrt{-m^2n^3}$.

Ответ: $\sqrt{-m^2n^3}$.

2)

Рассмотрим выражение $(4-y)\sqrt{\frac{1}{y^2 - 8y + 16}}$.

Сначала упростим подкоренное выражение. Знаменатель $y^2 - 8y + 16$ является полным квадратом разности: $y^2 - 8y + 16 = (y-4)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $(4-y)\sqrt{\frac{1}{(y-4)^2}}$.

Выражение определено, если знаменатель под корнем строго больше нуля: $(y-4)^2 > 0$, что выполняется при $y \neq 4$.

Чтобы внести множитель $(4-y)$ под знак корня, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака этого множителя.

Случай 1: Множитель $(4-y)$ положителен, то есть $4-y > 0$, что эквивалентно $y < 4$.

В этом случае мы вносим положительный множитель под корень, возводя его в квадрат:

$(4-y)\sqrt{\frac{1}{(y-4)^2}} = \sqrt{(4-y)^2 \cdot \frac{1}{(y-4)^2}}$.

Поскольку $(4-y)^2 = (-(y-4))^2 = (y-4)^2$, получаем:

$\sqrt{\frac{(y-4)^2}{(y-4)^2}} = \sqrt{1}$.

Случай 2: Множитель $(4-y)$ отрицателен, то есть $4-y < 0$, что эквивалентно $y > 4$.

При внесении отрицательного множителя под знак квадратного корня, перед корнем остается знак "минус", а под корень вносится квадрат модуля этого множителя (или просто квадрат самого множителя):

$(4-y)\sqrt{\frac{1}{(y-4)^2}} = -\sqrt{(4-y)^2 \cdot \frac{1}{(y-4)^2}} = -\sqrt{\frac{(y-4)^2}{(y-4)^2}} = -\sqrt{1}$.

Таким образом, результат зависит от значения $y$.

Ответ: $\sqrt{1}$, если $y < 4$; $-\sqrt{1}$, если $y > 4$.