Номер 1, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 8. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Вариант 2. Контрольные работы - номер 1, страница 105.

Условие.

1. Решите уравнение:

1) $4x^2 - 20 = 0;$

2) $3x^2 + 5x = 0;$

3) $x^2 - 5x - 24 = 0;$

4) $9x^2 + 2x - 7 = 0;$

5) $7x^2 - 6x + 2 = 0;$

6) $4x^2 + 12x + 9 = 0.$

Решение.

1) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на коэффициент при $x^2$.
$4x^2 - 20 = 0$
$4x^2 = 20$
$x^2 = \frac{20}{4}$
$x^2 = 5$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$
Ответ: $x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$.

2) Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$3x^2 + 5x = 0$
$x(3x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $3x + 5 = 0$
Решаем второе уравнение:
$3x = -5$
$x = -\frac{5}{3}$
Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{5}{3}$.

3) Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.
$x^2 - 5x - 24 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -5$, $c = -24$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: $x_1 = 8$, $x_2 = -3$.

4) Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
$9x^2 + 2x - 7 = 0$
Коэффициенты: $a = 9$, $b = 2$, $c = -7$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 4 + 252 = 256$
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$
$x_2 = \frac{-2 - 16}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{7}{9}$, $x_2 = -1$.

5) Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
$7x^2 - 6x + 2 = 0$
Коэффициенты: $a = 7$, $b = -6$, $c = 2$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

6) Это полное квадратное уравнение. Можно заметить, что левая часть является полным квадратом.
$4x^2 + 12x + 9 = 0$
$(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 0$
Свернем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2x + 3)^2 = 0$
$2x + 3 = 0$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2} = -1.5$
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $x = -1.5$.