Номер 1, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов - номер 1, страница 106.

Условие.

1. Сократите дробь $\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2}$.

Решение.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Оба являются квадратными трехчленами, которые можно разложить по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

1. Разложим на множители числитель $4a^2 + a - 3$.

Приравняем его к нулю и найдем корни квадратного уравнения $4a^2 + a - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Таким образом, разложение числителя на множители выглядит так:

$4a^2 + a - 3 = 4(a - \frac{3}{4})(a - (-1)) = (4a - 3)(a + 1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $a^2 - a - 2$.

Приравняем его к нулю и найдем корни квадратного уравнения $a^2 - a - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, разложение знаменателя на множители выглядит так:

$a^2 - a - 2 = (a - 2)(a - (-1)) = (a - 2)(a + 1)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение.

$\frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - a - 2} = \frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 2)(a + 1)}$

Сокращаем общий множитель $(a+1)$ (при условии, что $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$):

$\frac{(4a - 3)\cancel{(a + 1)}}{(a - 2)\cancel{(a + 1)}} = \frac{4a - 3}{a - 2}$

Ответ: $\frac{4a - 3}{a - 2}$