Номер 6, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 2. Контрольные работы - номер 6, страница 106.

Условие.

6. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

$\frac{x^2 - (4a + 5)x - 20a}{x^2 - 4} = 0.$

Решение.

Исходное уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - (4a + 5)x - 20a = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases} $$

Из второго условия системы получаем, что знаменатель не должен быть равен нулю, что накладывает ограничения на переменную $x$: $x^2 \neq 4$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь решим квадратное уравнение из числителя: $x^2 - (4a + 5)x - 20a = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения относительно $x$:

$D = (-(4a+5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20a) = (4a+5)^2 + 80a = 16a^2 + 40a + 25 + 80a = 16a^2 + 120a + 25$.

Уравнение имеет действительные корни только при условии $D \ge 0$. Решим неравенство $16a^2 + 120a + 25 \ge 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $16a^2 + 120a + 25 = 0$ относительно параметра $a$.

Дискриминант для этого уравнения: $D_a = 120^2 - 4 \cdot 16 \cdot 25 = 14400 - 1600 = 12800$.

$\sqrt{D_a} = \sqrt{6400 \cdot 2} = 80\sqrt{2}$.

Корни уравнения для $a$:

$a_{1,2} = \frac{-120 \pm 80\sqrt{2}}{2 \cdot 16} = \frac{-120 \pm 80\sqrt{2}}{32} = \frac{-15 \pm 10\sqrt{2}}{4}$.

Так как ветви параболы $y = 16a^2 + 120a + 25$ направлены вверх, неравенство $D \ge 0$ выполняется при $a \in (-\infty, \frac{-15 - 10\sqrt{2}}{4}] \cup [\frac{-15 + 10\sqrt{2}}{4}, \infty)$.

Если значение параметра $a$ принадлежит интервалу $(\frac{-15 - 10\sqrt{2}}{4}, \frac{-15 + 10\sqrt{2}}{4})$, то $D < 0$, и уравнение не имеет действительных корней.

При $D \ge 0$ корни уравнения числителя имеют вид:

$x_{1,2} = \frac{4a+5 \pm \sqrt{16a^2 + 120a + 25}}{2}$.

Эти корни являются решениями исходного уравнения, если они не совпадают с недопустимыми значениями $x=2$ и $x=-2$. Найдем значения параметра $a$, при которых это происходит.

1. Пусть один из корней равен $2$. Подставим $x=2$ в уравнение числителя:

$2^2 - (4a+5) \cdot 2 - 20a = 0$

$4 - 8a - 10 - 20a = 0$

$-28a - 6 = 0 \implies a = -6/28 = -3/14$.

При $a = -3/14$ один из корней числителя $x_1=2$ является посторонним. Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4a+5$.

$2 + x_2 = 4(-3/14) + 5 = -6/7 + 35/7 = 29/7$.

$x_2 = 29/7 - 2 = 15/7$.

Этот корень не равен $2$ или $-2$, следовательно, при $a = -3/14$ уравнение имеет единственный корень $x = 15/7$.

2. Пусть один из корней равен $-2$. Подставим $x=-2$ в уравнение числителя:

$(-2)^2 - (4a+5) \cdot (-2) - 20a = 0$

$4 + 8a + 10 - 20a = 0$

$14 - 12a = 0 \implies 12a = 14 \implies a = 14/12 = 7/6$.

При $a = 7/6$ один из корней числителя $x_1=-2$ является посторонним. Найдем второй корень $x_2$ по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4a+5$.

$-2 + x_2 = 4(7/6) + 5 = 14/3 + 15/3 = 29/3$.

$x_2 = 29/3 + 2 = 35/3$.

Этот корень не равен $2$ или $-2$, следовательно, при $a = 7/6$ уравнение имеет единственный корень $x = 35/3$.

Обобщим полученные результаты.

Ответ:
при $a \in (\frac{-15 - 10\sqrt{2}}{4}, \frac{-15 + 10\sqrt{2}}{4})$ решений нет;
при $a = \frac{-15 - 10\sqrt{2}}{4}$ и $a = \frac{-15 + 10\sqrt{2}}{4}$, решение одно: $x = \frac{4a+5}{2}$;
при $a = -3/14$, решение одно: $x = 15/7$;
при $a = 7/6$, решение одно: $x = 35/3$;
при $a \in (-\infty, \frac{-15-10\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{-15+10\sqrt{2}}{4}, \infty)$ и $a \notin \{-3/14, 7/6\}$, решения два: $x = \frac{4a+5 \pm \sqrt{16a^2 + 120a + 25}}{2}$.