Номер 3, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 3, страница 107.

Условие.

3. Докажите тождество

$\left(\frac{b}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b+6}{b^2 - 16}\right) : \frac{b+12}{b^2 - 16} = \frac{2}{b-4}$

Решение.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Выполним преобразования по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках: $\frac{b}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b+6}{b^2 - 16}$

Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

$b^2 - 8b + 16 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b-4)^2$

$b^2 - 16 = b^2 - 4^2 = (b-4)(b+4)$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(b-4)^2(b+4)$:

$\frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} = \frac{b(b+4)}{(b-4)^2(b+4)} - \frac{(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{b(b+4) - (b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{(b^2 + 4b) - (b^2 - 4b + 6b - 24)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{b^2 + 4b - (b^2 + 2b - 24)}{(b-4)^2(b+4)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{b^2 + 4b - b^2 - 2b + 24}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2b + 24}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)}$

2. Выполним деление: $\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} : \frac{b+12}{b^2 - 16}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь. Также разложим знаменатель второй дроби на множители:

$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{b^2 - 16}{b+12} = \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \cdot \frac{(b-4)(b+4)}{b+12}$

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \cdot \cancel{(b+12)} \cdot \cancel{(b-4)} \cdot \cancel{(b+4)}}{(b-4)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{(b+4)} \cdot \cancel{(b+12)}} = \frac{2}{b-4}$

В результате преобразования левой части равенства мы получили выражение, стоящее в правой части.

$\frac{2}{b-4} = \frac{2}{b-4}$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как после преобразования левая часть выражения равна правой.