Номер 5, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 5, страница 107.

Условие.

5. Решите уравнение $(\sqrt{x} - 7)(3x^2 - x - 10) = 0.$

Решение.

Данное уравнение $(\sqrt{x-7})(3x^2 - x - 10) = 0$ представляет собой произведение, равное нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 7 \ge 0$

$x \ge 7$

Таким образом, все решения уравнения должны удовлетворять условию $x \ge 7$.

Теперь рассмотрим два случая, приравнивая каждый множитель к нулю:

1. $\sqrt{x-7} = 0$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Проверяем, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ: $7 \ge 7$. Условие выполняется, значит, $x = 7$ является корнем уравнения.

2. $3x^2 - x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 7$):

Для корня $x_1 = 2$: $2 \ge 7$ (неверно). Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.

Для корня $x_2 = -\frac{5}{3}$: $-\frac{5}{3} \ge 7$ (неверно). Следовательно, $x = -\frac{5}{3}$ также является посторонним корнем.

Объединяя результаты, мы видим, что уравнение имеет только один корень, удовлетворяющий ОДЗ.

Ответ: $7$.