Номер 6, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 6, страница 107.

Условие.

6. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $n^3 - 31n$ кратно 6.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $n^3 - 31n$ кратно 6 при всех натуральных значениях $n$, преобразуем его. Представим $ -31n $ как $ -n - 30n $:

$n^3 - 31n = n^3 - n - 30n = (n^3 - n) - 30n$

Теперь докажем, что оба члена полученной разности, $(n^3 - n)$ и $30n$, делятся на 6.

Рассмотрим первый член, $(n^3 - n)$. Разложим его на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$. Это выражение является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное (кратное 2) и ровно одно число, кратное 3. Так как числа 2 и 3 взаимно просты, то их произведение, $2 \times 3 = 6$, делит произведение $(n-1)n(n+1)$. Таким образом, $(n^3 - n)$ всегда кратно 6.

Рассмотрим второй член, $30n$. Так как множитель 30 делится на 6 ($30 = 5 \times 6$), то и все произведение $30n$ кратно 6 для любого натурального $n$.

Мы представили исходное выражение $n^3 - 31n$ в виде разности двух выражений, каждое из которых кратно 6. Разность двух чисел, делящихся на 6, также делится на 6. Следовательно, $n^3 - 31n$ кратно 6 при всех натуральных значениях $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.