Номер 5, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 2. Контрольные работы - номер 5, страница 106.

Условие.

5. Разложите на множители многочлен $x^3 - x^2 - 10x - 8$.

Решение.

Для разложения многочлена $P(x) = x³ - x² - 10x - 8$ на множители, сначала найдем один из его целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями его свободного члена.

Свободный член в данном многочлене равен -8. Его делители: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$.

Проверим эти значения, подставляя их вместо $x$ в многочлен:

При $x = 1$: $P(1) = 1³ - 1² - 10(1) - 8 = 1 - 1 - 10 - 8 = -18 \neq 0$.

При $x = -1$: $P(-1) = (-1)³ - (-1)² - 10(-1) - 8 = -1 - 1 + 10 - 8 = 0$.

Поскольку $P(-1) = 0$, то $x = -1$ является корнем многочлена. Это означает, что многочлен делится на $(x - (-1))$, то есть на $(x+1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена на $(x+1)$ с помощью метода группировки. Для этого представим члены исходного многочлена так, чтобы можно было вынести за скобки множитель $(x+1)$:

$x³ - x² - 10x - 8 = x³ + x² - 2x² - 2x - 8x - 8$

Сгруппируем слагаемые:

$(x³ + x²) - (2x² + 2x) - (8x + 8)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x²(x+1) - 2x(x+1) - 8(x+1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x² - 2x - 8)$

Далее, разложим на множители получившийся квадратный трехчлен $x² - 2x - 8$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x² - 2x - 8 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и -2.

Таким образом, $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, квадратный трехчлен раскладывается на множители следующим образом:

$x² - 2x - 8 = (x - 4)(x - (-2)) = (x-4)(x+2)$

Собирая все множители вместе, получаем окончательное разложение исходного многочлена:

$x³ - x² - 10x - 8 = (x+1)(x-4)(x+2)$

Ответ: $(x+1)(x+2)(x-4)$.