Номер 3, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 2. Контрольные работы - номер 3, страница 106.

Условие.

3. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 ч быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля будет $(x + 10)$ км/ч. Так как скорость не может быть отрицательной, должно выполняться условие $x > 0$.

Время, которое второй автомобиль тратит на прохождение расстояния в 300 км, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{300}{x}$ ч.

Время, которое первый автомобиль тратит на то же расстояние, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{300}{x + 10}$ ч.

В условии сказано, что первый автомобиль проезжает это расстояние на 1 час быстрее, чем второй. Это означает, что время второго автомобиля на 1 час больше времени первого. На основе этого составим уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени:

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 10} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 10)$:

$\frac{300(x + 10) - 300x}{x(x + 10)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{300x + 3000 - 300x}{x^2 + 10x} = 1$

$\frac{3000}{x^2 + 10x} = 1$

Так как $x > 0$, знаменатель не может быть равен нулю. Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 10x$:

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной ($x > 0$).

Следовательно, единственным подходящим решением является $x = 50$. Это скорость второго автомобиля.

Скорость второго автомобиля равна 50 км/ч.

Найдем скорость первого автомобиля:

$x + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

Проверим результат. Время в пути для первого автомобиля: $300 \text{ км} / 60 \text{ км/ч} = 5$ ч. Время в пути для второго автомобиля: $300 \text{ км} / 50 \text{ км/ч} = 6$ ч. Разница во времени составляет $6 - 5 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого автомобиля – 60 км/ч, скорость второго автомобиля – 50 км/ч.