Номер 4, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов - номер 4, страница 106.

Условие.

4. Решите уравнение:

1) $x^4 - 35x^2 - 36 = 0;$

2) $(x - 2)(x - 6)(x + 1)(x + 5) = -180.$

Решение.

1) $x^4 - 35x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 35t - 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 1225 + 144 = 1369$

$\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$

Найдем корни для $t$:

$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + 37}{2} = \frac{72}{2} = 36$

$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - 37}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.

Рассмотрим корень $t_1 = 36$:

$x^2 = 36$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{36}$

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-6; 6$.

2) $(x - 2)(x - 6)(x + 1)(x + 5) = -180$

Сгруппируем множители таким образом, чтобы при их попарном перемножении коэффициенты при $x$ совпали. Для этого нужно, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Заметим, что $(-2) + 1 = -1$ и $(-6) + 5 = -1$.

Перегруппируем множители:

$[(x - 2)(x + 1)] \cdot [(x - 6)(x + 5)] = -180$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + x - 2x - 2)(x^2 + 5x - 6x - 30) = -180$

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 30) = -180$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x$.

Тогда уравнение примет вид:

$(t - 2)(t - 30) = -180$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 30t - 2t + 60 = -180$

$t^2 - 32t + 60 + 180 = 0$

$t^2 - 32t + 240 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 32$, $t_1 \cdot t_2 = 240$. Корни $t_1 = 12$ и $t_2 = 20$.

Или через дискриминант:

$D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1024 - 960 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{32 + 8}{2} = 20$

$t_2 = \frac{32 - 8}{2} = 12$

Вернемся к замене, получив два уравнения:

1) $x^2 - x = 20$

$x^2 - x - 20 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

2) $x^2 - x = 12$

$x^2 - x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 4$ и $x_4 = -3$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-4; -3; 4; 5$.