Номер 4, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 9. Квадратный трёхчлен. Решение уравнений, сводящихся к квадратным. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Деление многочленов. Вариант 2. Контрольные работы - номер 4, страница 106.
№4 (с. 106)
Условие. №4 (с. 106)
скриншот условия

4. Решите уравнение:
1) $x^4 - 35x^2 - 36 = 0;$
2) $(x - 2)(x - 6)(x + 1)(x + 5) = -180.$
Решение. №4 (с. 106)
1) $x^4 - 35x^2 - 36 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
После замены уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 35t - 36 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 1225 + 144 = 1369$
$\sqrt{D} = \sqrt{1369} = 37$
Найдем корни для $t$:
$t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + 37}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - 37}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней.
Рассмотрим корень $t_1 = 36$:
$x^2 = 36$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{36}$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$
Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-6; 6$.
2) $(x - 2)(x - 6)(x + 1)(x + 5) = -180$
Сгруппируем множители таким образом, чтобы при их попарном перемножении коэффициенты при $x$ совпали. Для этого нужно, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Заметим, что $(-2) + 1 = -1$ и $(-6) + 5 = -1$.
Перегруппируем множители:
$[(x - 2)(x + 1)] \cdot [(x - 6)(x + 5)] = -180$
Раскроем скобки в каждой группе:
$(x^2 + x - 2x - 2)(x^2 + 5x - 6x - 30) = -180$
$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 30) = -180$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x$.
Тогда уравнение примет вид:
$(t - 2)(t - 30) = -180$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 30t - 2t + 60 = -180$
$t^2 - 32t + 60 + 180 = 0$
$t^2 - 32t + 240 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 32$, $t_1 \cdot t_2 = 240$. Корни $t_1 = 12$ и $t_2 = 20$.
Или через дискриминант:
$D = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1024 - 960 = 64 = 8^2$
$t_1 = \frac{32 + 8}{2} = 20$
$t_2 = \frac{32 - 8}{2} = 12$
Вернемся к замене, получив два уравнения:
1) $x^2 - x = 20$
$x^2 - x - 20 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
2) $x^2 - x = 12$
$x^2 - x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = 4$ и $x_4 = -3$.
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-4; -3; 4; 5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 106 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 106), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.