Номер 4, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 4, страница 107.

Условие.

4. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом $360 \text{ м}^3$, а второй — объёмом $480 \text{ м}^3$. Первый насос перекачивал в час на $10 \text{ м}^3$ воды меньше, чем второй, и работал на $2 \text{ ч}$ больше второго. Какой объём воды перекачивал за $1 \text{ ч}$ каждый насос?

Решение.

Пусть производительность первого насоса составляет $x$ м³/ч. Поскольку первый насос перекачивал в час на 10 м³ воды меньше, чем второй, то производительность второго насоса составляет $(x + 10)$ м³/ч.

Первый насос наполнил бассейн объёмом 360 м³, затратив на это время $t_1 = \frac{360}{x}$ часов.

Второй насос наполнил бассейн объёмом 480 м³, затратив на это время $t_2 = \frac{480}{x+10}$ часов.

Из условия задачи известно, что первый насос работал на 2 часа больше второго, следовательно, мы можем составить уравнение:$t_1 - t_2 = 2$

$\frac{360}{x} - \frac{480}{x+10} = 2$

Для решения уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{360(x+10) - 480x}{x(x+10)} = 2$

$\frac{360x + 3600 - 480x}{x^2 + 10x} = 2$

$\frac{3600 - 120x}{x^2 + 10x} = 2$

Предполагая, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$ (что верно, так как производительность насоса — величина положительная), умножим обе части на знаменатель:

$3600 - 120x = 2(x^2 + 10x)$

$3600 - 120x = 2x^2 + 20x$

Разделим обе части уравнения на 2:

$1800 - 60x = x^2 + 10x$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 10x + 60x - 1800 = 0$

$x^2 + 70x - 1800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 4900 + 7200 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 + 110}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 - 110}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку производительность насоса ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -90$ не является решением задачи. Таким образом, производительность первого насоса составляет 20 м³/ч.

Теперь найдём производительность второго насоса:

$x + 10 = 20 + 10 = 30$ м³/ч.

Ответ: первый насос перекачивал 20 м³ воды в час, а второй — 30 м³ воды в час.