Номер 1, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6. Неравенства. Вариант 2. Контрольные работы - номер 1, страница 103.

Условие.

1. Дано: $4 < a < 5$ и $2 < b < 7$. Оцените значение выражения:

1) $6b - 2a$;

2) $\frac{a}{b}$;

3) $\frac{4}{3b - 5}$.

Решение.

1) Чтобы оценить значение выражения $6b - 2a$, представим его как сумму $6b + (-2a)$ и оценим каждое слагаемое по отдельности.

Сначала оценим $6b$. Из условия $2 < b < 7$, умножив все части неравенства на 6, получаем:

$6 \cdot 2 < 6b < 6 \cdot 7$

$12 < 6b < 42$

Теперь оценим $-2a$. Из условия $4 < a < 5$, умножив все части на -2 (при этом знаки неравенства меняются на противоположные), получаем:

$-2 \cdot 4 > -2a > -2 \cdot 5$

$-8 > -2a > -10$

Запишем последнее неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-10 < -2a < -8$

Теперь сложим почленно полученные неравенства для $6b$ и $-2a$:

$12 + (-10) < 6b + (-2a) < 42 + (-8)$

$2 < 6b - 2a < 34$

Ответ: $2 < 6b - 2a < 34$.

2) Чтобы оценить значение дроби $\frac{a}{b}$, нужно найти ее наименьшее и наибольшее возможные значения. Так как $a$ и $b$ — положительные числа, значение дроби будет наименьшим, когда числитель ($a$) минимален, а знаменатель ($b$) максимален. Значение дроби будет наибольшим, когда числитель максимален, а знаменатель минимален.

Используем данные неравенства: $4 < a < 5$ и $2 < b < 7$.

Наименьшее возможное значение дроби: $\frac{\text{min}(a)}{\text{max}(b)} = \frac{4}{7}$.

Наибольшее возможное значение дроби: $\frac{\text{max}(a)}{\text{min}(b)} = \frac{5}{2}$.

Таким образом, получаем итоговое неравенство:

$\frac{4}{7} < \frac{a}{b} < \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{4}{7} < \frac{a}{b} < \frac{5}{2}$.

3) Чтобы оценить значение выражения $\frac{4}{3b - 5}$, необходимо сначала оценить значение знаменателя $3b - 5$.

Начнем с исходного неравенства для $b$: $2 < b < 7$.

Умножим все части на 3:

$3 \cdot 2 < 3b < 3 \cdot 7$

$6 < 3b < 21$

Далее вычтем 5 из всех частей полученного неравенства:

$6 - 5 < 3b - 5 < 21 - 5$

$1 < 3b - 5 < 16$

Так как все части неравенства для знаменателя $3b - 5$ положительны, мы можем взять обратные величины, поменяв знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{16} < \frac{1}{3b - 5} < \frac{1}{1}$

$\frac{1}{16} < \frac{1}{3b - 5} < 1$

Наконец, умножим все части на числитель 4:

$4 \cdot \frac{1}{16} < 4 \cdot \frac{1}{3b - 5} < 4 \cdot 1$

$\frac{4}{16} < \frac{4}{3b - 5} < 4$

Сократив дробь, получаем конечный результат:

$\frac{1}{4} < \frac{4}{3b - 5} < 4$

Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{4}{3b - 5} < 4$.