Номер 1, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 5. Основы теории делимости - номер 1, страница 102.

Условие.

1. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что каждое из чисел $m - 4$ и $n + 23$ кратно 19. Докажите, что число $m + n$ также кратно 19.

Решение.

По условию задачи, числа $m - 4$ и $n + 23$ кратны 19. Свойство делимости гласит, что если два числа делятся на некоторое число, то их сумма также делится на это число. Следовательно, сумма $(m - 4) + (n + 23)$ кратна 19.

Упростим это выражение:

$(m - 4) + (n + 23) = m + n - 4 + 23 = m + n + 19$

Таким образом, мы доказали, что сумма $m + n + 19$ кратна 19.

Рассмотрим искомую сумму $m + n$. Её можно представить в виде разности двух чисел, каждое из которых кратно 19:

$m + n = (m + n + 19) - 19$

Поскольку уменьшаемое $(m + n + 19)$ кратно 19 (как мы установили ранее) и вычитаемое 19 очевидно кратно 19, то их разность также кратна 19. Это следует из свойства делимости, согласно которому разность двух чисел, делящихся на некоторое число, сама делится на это число.

Следовательно, число $m + n$ кратно 19. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что число $m + n$ кратно 19.