Номер 5, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 5, страница 100.

Условие.

5. Докажите тождество

$\left( \frac{a^2}{a + 5} - \frac{a^3}{a^2 + 10a + 25} \right) \div \left( \frac{a}{a + 5} - \frac{a^2}{a^2 - 25} \right) = \frac{5a - a^2}{a + 5}.$

Решение.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку. Область допустимых значений: $ a \neq -5, a \neq 5, a \neq 0 $.

1. Упростим выражение в первых скобках:

$ \frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2 + 10a + 25} $

Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a+5)^2 $:

$ \frac{a^2(a+5)}{(a+5)^2} - \frac{a^3}{(a+5)^2} = \frac{a^2(a+5) - a^3}{(a+5)^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^3 + 5a^2 - a^3}{(a+5)^2} = \frac{5a^2}{(a+5)^2} $

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ \frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2 - 25} $

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $ a^2 - 25 = (a-5)(a+5) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-5)(a+5) $:

$ \frac{a(a-5)}{(a-5)(a+5)} - \frac{a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5) - a^2}{(a-5)(a+5)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 - 5a - a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} $

3. Выполним деление результатов:

$ \frac{5a^2}{(a+5)^2} : \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{5a^2}{(a+5)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{-5a} $

Сократим общие множители $ 5a $ и $ (a+5) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{5a} \cdot a}{(a+5)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{-\cancel{5a}} = \frac{a(a-5)}{-(a+5)} $

Преобразуем полученное выражение:

$ \frac{a^2 - 5a}{-(a+5)} = -\frac{a^2 - 5a}{a+5} = \frac{-(a^2 - 5a)}{a+5} = \frac{5a - a^2}{a+5} $

В результате преобразования левой части выражения мы получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.