Номер 5, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Самостоятельные и контрольные работы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2015 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: красный
ISBN: 978-5-360-08298-9
Популярные ГДЗ в 8 классе
Контрольная работа № 3. Умножение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Вариант 2. Контрольные работы - номер 5, страница 100.
№5 (с. 100)
Условие. №5 (с. 100)
скриншот условия

5. Докажите тождество
$\left( \frac{a^2}{a + 5} - \frac{a^3}{a^2 + 10a + 25} \right) \div \left( \frac{a}{a + 5} - \frac{a^2}{a^2 - 25} \right) = \frac{5a - a^2}{a + 5}.$
Решение. №5 (с. 100)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку. Область допустимых значений: $ a \neq -5, a \neq 5, a \neq 0 $.
1. Упростим выражение в первых скобках:
$ \frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{a^2 + 10a + 25} $
Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a+5)^2 $:
$ \frac{a^2(a+5)}{(a+5)^2} - \frac{a^3}{(a+5)^2} = \frac{a^2(a+5) - a^3}{(a+5)^2} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{a^3 + 5a^2 - a^3}{(a+5)^2} = \frac{5a^2}{(a+5)^2} $
2. Упростим выражение во вторых скобках:
$ \frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2 - 25} $
Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $ a^2 - 25 = (a-5)(a+5) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-5)(a+5) $:
$ \frac{a(a-5)}{(a-5)(a+5)} - \frac{a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5) - a^2}{(a-5)(a+5)} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{a^2 - 5a - a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} $
3. Выполним деление результатов:
$ \frac{5a^2}{(a+5)^2} : \frac{-5a}{(a-5)(a+5)} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$ \frac{5a^2}{(a+5)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{-5a} $
Сократим общие множители $ 5a $ и $ (a+5) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{5a} \cdot a}{(a+5)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{(a-5)\cancel{(a+5)}}{-\cancel{5a}} = \frac{a(a-5)}{-(a+5)} $
Преобразуем полученное выражение:
$ \frac{a^2 - 5a}{-(a+5)} = -\frac{a^2 - 5a}{a+5} = \frac{-(a^2 - 5a)}{a+5} = \frac{5a - a^2}{a+5} $
В результате преобразования левой части выражения мы получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 100 к самостоятельным и контрольным работам серии алгоритм успеха 2015 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 100), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.