Номер 8, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей. Вариант 2. Контрольные работы - номер 8, страница 99.

Условие.

8. Упростите выражение $\frac{1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1} - \frac{2}{9x^2+1} - \frac{4}{81x^4+1}$

Решение.

Для упрощения выражения будем последовательно выполнять действия, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

1. Упростим разность первых двух дробей:

$ \frac{1}{3x-1} - \frac{1}{3x+1} $

Общий знаменатель для этих дробей — $ (3x-1)(3x+1) $. Применяя формулу разности квадратов, получаем $ (3x)^2 - 1^2 = 9x^2 - 1 $.

$ \frac{1 \cdot (3x+1)}{(3x-1)(3x+1)} - \frac{1 \cdot (3x-1)}{(3x+1)(3x-1)} = \frac{(3x+1) - (3x-1)}{9x^2-1} = \frac{3x+1-3x+1}{9x^2-1} = \frac{2}{9x^2-1} $

Теперь исходное выражение имеет вид:

$ \frac{2}{9x^2-1} - \frac{2}{9x^2+1} - \frac{4}{81x^4+1} $

2. Теперь вычтем из полученного результата третью дробь:

$ \frac{2}{9x^2-1} - \frac{2}{9x^2+1} $

Общий знаменатель — $ (9x^2-1)(9x^2+1) $. По формуле разности квадратов это $ (9x^2)^2 - 1^2 = 81x^4 - 1 $.

$ \frac{2 \cdot (9x^2+1)}{(9x^2-1)(9x^2+1)} - \frac{2 \cdot (9x^2-1)}{(9x^2+1)(9x^2-1)} = \frac{2(9x^2+1) - 2(9x^2-1)}{81x^4-1} = \frac{18x^2+2-18x^2+2}{81x^4-1} = \frac{4}{81x^4-1} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{4}{81x^4-1} - \frac{4}{81x^4+1} $

3. Выполним последнее действие:

$ \frac{4}{81x^4-1} - \frac{4}{81x^4+1} $

Общий знаменатель — $ (81x^4-1)(81x^4+1) $. По формуле разности квадратов это $ (81x^4)^2 - 1^2 = 6561x^8 - 1 $.

$ \frac{4 \cdot (81x^4+1)}{(81x^4-1)(81x^4+1)} - \frac{4 \cdot (81x^4-1)}{(81x^4+1)(81x^4-1)} = \frac{4(81x^4+1) - 4(81x^4-1)}{6561x^8-1} = \frac{324x^4+4-324x^4+4}{6561x^8-1} = \frac{8}{6561x^8-1} $

Ответ: $ \frac{8}{6561x^8-1} $.