Номер 3, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 2. Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей - номер 3, страница 99.

Условие.

3. Выполните действия:

1) $\frac{y-18}{6y^2} - \frac{2-3y}{y^3}$;

2) $\frac{24x^2}{6x-3} - 4x$;

3) $\frac{b-7}{b+7} - \frac{b^2+49}{b^2+14b+49}$.

Решение.

1) Для выполнения вычитания дробей $\frac{y-18}{6y^2} - \frac{2-3y}{y^3}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $6y^2$ и $y^3$ это $6y^3$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $\frac{6y^3}{6y^2} = y$.
Для второй дроби: $\frac{6y^3}{y^3} = 6$.
Теперь умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:
$\frac{y-18}{6y^2} - \frac{2-3y}{y^3} = \frac{(y-18) \cdot y}{6y^3} - \frac{(2-3y) \cdot 6}{6y^3} = \frac{y(y-18) - 6(2-3y)}{6y^3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{y^2 - 18y - (12 - 18y)}{6y^3} = \frac{y^2 - 18y - 12 + 18y}{6y^3}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{y^2 - 12}{6y^3}$
Ответ: $\frac{y^2-12}{6y^3}$

2) Чтобы выполнить вычитание $\frac{24x^2}{6x-3} - 4x$, представим $4x$ в виде дроби со знаменателем $6x-3$.
$\frac{24x^2}{6x-3} - 4x = \frac{24x^2}{6x-3} - \frac{4x(6x-3)}{6x-3}$
Запишем все под общим знаменателем:
$\frac{24x^2 - 4x(6x-3)}{6x-3}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{24x^2 - (24x^2 - 12x)}{6x-3} = \frac{24x^2 - 24x^2 + 12x}{6x-3}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{12x}{6x-3}$
Для возможного сокращения дроби вынесем общий множитель в знаменателе:
$\frac{12x}{3(2x-1)}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{4x}{2x-1}$
Ответ: $\frac{4x}{2x-1}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{b-7}{b+7} - \frac{b^2+49}{b^2+14b+49}$.
Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $b^2+14b+49 = (b+7)^2$.
Перепишем выражение:
$\frac{b-7}{b+7} - \frac{b^2+49}{(b+7)^2}$
Общий знаменатель для этих дробей - $(b+7)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(b+7)$.
$\frac{(b-7)(b+7)}{(b+7)^2} - \frac{b^2+49}{(b+7)^2}$
В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$\frac{b^2 - 49}{(b+7)^2} - \frac{b^2+49}{(b+7)^2} = \frac{(b^2-49) - (b^2+49)}{(b+7)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{b^2 - 49 - b^2 - 49}{(b+7)^2}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{-98}{(b+7)^2}$
Ответ: $\frac{-98}{(b+7)^2}$