Номер 2, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 10. Обобщение и систематизация знаний учащихся - номер 2, страница 97.

Условие.

2. Сократите дробь $\frac{b + 5\sqrt{b} + 25}{b\sqrt{b} - 125}$

Решение.

Чтобы сократить дробь $\frac{b + 5\sqrt{b} + 25}{b\sqrt{b} - 125}$, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Для этого заметим, что выражения в дроби являются частями формул сокращенного умножения для кубов.

Рассмотрим знаменатель дроби: $b\sqrt{b} - 125$. Представим его в виде разности кубов. Так как $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^2 \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$ и $125 = 5^3$, то знаменатель можно записать как $(\sqrt{b})^3 - 5^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2)$. В нашем случае $a = \sqrt{b}$ и $c = 5$. Применяя формулу, получаем: $b\sqrt{b} - 125 = (\sqrt{b})^3 - 5^3 = (\sqrt{b} - 5)((\sqrt{b})^2 + \sqrt{b} \cdot 5 + 5^2) = (\sqrt{b} - 5)(b + 5\sqrt{b} + 25)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в исходную дробь: $\frac{b + 5\sqrt{b} + 25}{(\sqrt{b} - 5)(b + 5\sqrt{b} + 25)}$.

Мы видим, что выражение $(b + 5\sqrt{b} + 25)$ присутствует как в числителе, так и в знаменателе. Мы можем сократить дробь на этот общий множитель. Данный множитель не равен нулю при допустимых значениях $b$ (для $b \ge 0$ все слагаемые неотрицательны, а 25 - положительное число).

После сокращения дроби на $(b + 5\sqrt{b} + 25)$ получаем: $\frac{1}{\sqrt{b} - 5}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b} - 5}$