Номер 5, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Дано:
Начальный объём кофе в чашке — $100$ мл
Объём молока в кувшине — $300$ мл
Конечное соотношение кофе и молока в чашке — поровну

Найти: объём кофе, который нужно отлить из чашки в кувшин.

Решение:

Пусть из чашки в кувшин перелили $x$ мл кофе (где $0 < x < 100$).

Тогда в чашке осталось $(100 - x)$ мл кофе.

В кувшине стало $(300 + x)$ мл смеси, из которых $300$ мл составляет молоко, а $x$ мл — кофе.

Чтобы снова наполнить чашку до краёв, из кувшина в неё нужно долить именно $x$ мл полученной смеси (так как объём чашки равен $100$ мл, а в ней оставалось $100 - x$ мл).

По условию задачи в наполненной чашке кофе и молока должно быть поровну, то есть:

$$100 : 2 = 50\text{ мл молока и } 50\text{ мл кофе}$$

Заметим, что всё молоко попадает в чашку исключительно со смесью из кувшина. Доля молока в смеси равна отношению объёма молока к общему объёму смеси:

$$\frac{300}{300 + x}$$

Значит, в $x$ мл смеси, которую долили обратно в чашку, содержится следующее количество молока:

$$x \cdot \frac{300}{300 + x}\text{ мл}$$

Так как молока в чашке должно оказаться ровно $50$ мл, составим уравнение:

$$\frac{300x}{300 + x} = 50$$

Умножим обе части уравнения на $(300 + x)$ при условии, что $x > 0$:

$$300x = 50(300 + x)$$

$$300x = 15000 + 50x$$

$$300x - 50x = 15000$$

$$250x = 15000$$

$$x = \frac{15000}{250}$$

$$x = 60$$

Ответ: $60$ мл кофе.