Номер 4, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

4.Доказательство:

Для того чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, упростим его, приведя дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{1 - 3\sqrt{3}} + \frac{1}{1 + 3\sqrt{3}} = \frac{(1 + 3\sqrt{3}) + (1 - 3\sqrt{3})}{(1 - 3\sqrt{3})(1 + 3\sqrt{3})}$$

Выполним преобразования в числителе и знаменателе полученной дроби:

• В числителе приведём подобные слагаемые:
  $$(1 + 3\sqrt{3}) + (1 - 3\sqrt{3}) = 1 + 1 + 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2$$
• В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
  $$(1 - 3\sqrt{3})(1 + 3\sqrt{3}) = 1^2 - (3\sqrt{3})^2 = 1 - (9 \cdot 3) = 1 - 27 = -26$$

Подставим полученные значения обратно в дробь и сократим её:

$$\frac{2}{-26} = -\frac{1}{13}$$

Число $-\frac{1}{13}$ представляет собой отношение целого числа $-1$ к натуральному числу $13$, то есть имеет вид $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, это число по определению является рациональным ($-\frac{1}{13} \in \mathbb{Q}$).

Что и требовалось доказать.