Номер 2, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

1.Найдём область определения функции (ОДЗ):

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$$x^2 - 1 \neq 0 \quad \text{и} \quad x + 1 \neq 0$$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) \neq 0$. Отсюда получаем:

$$x \neq 1 \quad \text{и} \quad x \neq -1$$

2.Упростим формулу, задающую функцию:

Вынесем общий множитель $x$ в числителе первой дроби и разложим её знаменатель:

$$\frac{x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$$

Сократим первую дробь на $(x - 1)$ при условии $x \neq 1$:

$$\frac{x}{x + 1}$$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$$y = \frac{x}{x + 1} + \frac{x^2}{x + 1} = \frac{x^2 + x}{x + 1}$$

Вынесем $x$ за скобки в числителе полученной дроби:

$$y = \frac{x(x + 1)}{x + 1}$$

Сократим на $(x + 1)$ при условии $x \neq -1$:

$$y = x$$

3.Описание и построение графика:

С учётом области определения исходная функция равносильна линейной функции:

$$y = x \quad \text{при} \quad x \neq -1, \, x \neq 1$$

Графиком является прямая $y = x$ (биссектриса I и III координатных четвертей) с двумя выколотыми точками:

• При $x = -1$: координата $y = -1$, выколотая точка $(-1; -1)$.
• При $x = 1$: координата $y = 1$, выколотая точка $(1; 1)$.

Порядок построения:

• Провести через начало координат $(0; 0)$ прямую $y = x$ под углом $45^\circ$ к оси $Ox$.
• Нанести на прямую две «пустые» (незакрашенные) точки с координатами $(-1; -1)$ и $(1; 1)$.