Номер 6, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

6.Доказательство:

Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:
$$a^3 + b^3 + 3abc - c^3$$

Используем формулу суммы кубов в виде $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ и подставим её в выражение: $$a^3 + b^3 + 3abc - c^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) + 3abc - c^3$$

Сгруппируем слагаемые: $$((a + b)^3 - c^3) - (3ab(a + b) - 3abc)$$

К первой скобке применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a + b$, $y = c$, а во второй скобке вынесем общий множитель $3ab$: $$(a + b - c)((a + b)^2 + (a + b)c + c^2) - 3ab(a + b - c)$$

Вынесем общий множитель $(a + b - c)$ за скобки: $$(a + b - c) \cdot \left((a + b)^2 + (a + b)c + c^2 - 3ab\right)$$

Раскроем скобки во втором множителе и приведем подобные слагаемые: $$(a + b - c)(a^2 + 2ab + b^2 + ac + bc + c^2 - 3ab) = (a + b - c)(a^2 - ab + b^2 + ac + bc + c^2)$$

Преобразуем выражение во второй скобке, выделив полный квадрат: $$a^2 - ab + b^2 + ac + bc + c^2 = (a - b)^2 + ab + ac + bc + c^2$$

Оценим знаки полученных множителей:

• По неравенству треугольника сумма любых двух сторон больше третьей стороны, то есть $a + b > c$, следовательно: $$(a + b - c) > 0$$
• Так как длины сторон треугольника — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$, $c > 0$), а квадрат любого числа неотрицателен ($(a - b)^2 \ge 0$), то: $$(a - b)^2 + ab + ac + bc + c^2 > 0$$

Произведение двух положительных множителей положительно: $$(a + b - c)((a - b)^2 + ab + ac + bc + c^2) > 0$$

Значит, исходная разность больше нуля: $$a^3 + b^3 + 3abc - c^3 > 0 \implies a^3 + b^3 + 3abc > c^3$$ Неравенство доказано.