Номер 3, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Решение:

Дано иррациональное уравнение с вложенными квадратными корнями:

$$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 2$$

Для того чтобы избавиться от внешнего квадратного корня, возведём обе части уравнения во вторую степень (в квадрат):

$$\left(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}}\right)^2 = 2^2$$

$$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4$$

Перенесём слагаемое $1$ из левой части в правую со сменой знака:

$$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 4 - 1$$

$$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 3$$

Снова возведём обе части полученного уравнения в квадрат:

$$\left(\sqrt{2 + \sqrt{x}}\right)^2 = 3^2$$

$$2 + \sqrt{x} = 9$$

Перенесём число $2$ в правую часть:

$$\sqrt{x} = 9 - 2$$

$$\sqrt{x} = 7$$

Возведём обе части уравнения в квадрат в третий раз, чтобы найти значение переменной $x$:

$$(\sqrt{x})^2 = 7^2$$

$$x = 49$$

Проверка:

Подставим найденное значение $x = 49$ в исходное уравнение:

$$\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{49}}} = \sqrt{1 + \sqrt{2 + 7}} = \sqrt{1 + \sqrt{9}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

Равенство $2 = 2$ верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $49$