Номер 6, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

6.Решение:

Пусть $t$ ч — время, которое автомобили затратили на движение до момента их встречи, а $v_1$ и $v_2$ (км/ч) — скорости первого и второго автомобилей соответственно.

До встречи первый автомобиль проехал путь $S_1 = v_1 t$, а второй — $S_2 = v_2 t$.
Поскольку общее расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $210$ км, получаем:

$$(v_1 + v_2) t = 210$$

После встречи автомобили продолжают движение:

• Первый автомобиль проехал оставшийся путь $S_2$ за $2$ ч со скоростью $v_1$, следовательно: $S_2 = 2v_1$.
• Второй автомобиль проехал оставшийся путь $S_1$ за $\frac{9}{8}$ ч со скоростью $v_2$, следовательно: $S_1 = \frac{9}{8}v_2$.

Приравняем выражения для отрезков пути $S_1$ и $S_2$:

$$v_1 t = \frac{9}{8}v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{8t}$$

$$v_2 t = 2v_1 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{2}$$

Приравняем правые части полученных отношений:

$$\frac{t}{2} = \frac{9}{8t}$$

$$8t^2 = 18$$

$$t^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$$

Так как время не может быть отрицательным ($t > 0$), получаем $t = \frac{3}{2} = 1{,}5$ ч.

Зная время до встречи, найдем сумму скоростей и их соотношение:

$$v_1 + v_2 = \frac{210}{t} = \frac{210}{1{,}5} = 140\text{ км/ч}$$

$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1{,}5}{2} = \frac{3}{4} \implies v_1 = \frac{3}{4}v_2$$

Подставим выражение для $v_1$ в уравнение суммы скоростей:

$$\frac{3}{4}v_2 + v_2 = 140$$

$$\frac{7}{4}v_2 = 140$$

$$v_2 = \frac{140 \cdot 4}{7} = 80\text{ км/ч}$$

Теперь найдем скорость первого автомобиля:
$$v_1 = 140 - 80 = 60\text{ км/ч}$$

Ответ: $60$ км/ч и $80$ км/ч.