Номер 5, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

5.Решение:

Для разложения многочлена $x^8 + x^4 + 1$ применим метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое $x^4$:

$$x^8 + x^4 + 1 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4$$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x^4$, а $b = 1$:

$$x^8 + 2x^4 + 1 - x^4 = (x^4 + 1)^2 - x^4$$

Представим $x^4$ как $(x^2)^2$ и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 = (x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$$

Заметим, что второй множитель $x^4 + x^2 + 1$ можно разложить дальше точно таким же приемом — прибавим и вычтем $x^2$:

$$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$$(x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$$

Многочлен $x^4 - x^2 + 1$ на множители с целыми коэффициентами больше не раскладывается. Подставим полученное разложение во все выражение:

$$x^8 + x^4 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$

Ответ: $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)(x^4 - x^2 + 1)$