Номер 3, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Выполним упрощение выражения по действиям: сначала найдем разность дробей в скобках, а затем выполним деление полученного результата на вторую дробь.

1) Выполним вычитание дробей в скобках:

Заметим, что знаменатель второй дроби представляет собой формулу квадрата суммы: $$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + y)^2$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x + y)$:

$$\frac{x}{x + y} - \frac{xy - 2}{(x + y)^2} = \frac{x(x + y) - (xy - 2)}{(x + y)^2}$$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$\frac{x^2 + xy - xy + 2}{(x + y)^2} = \frac{x^2 + 2}{(x + y)^2}$$

2) Выполним деление:

Чтобы разделить дробь на дробь, умножим первую дробь на дробь, обратную второй:

$$\frac{x^2 + 2}{(x + y)^2} : \frac{x^2 + 2}{y^2 - x^2} = \frac{x^2 + 2}{(x + y)^2} \cdot \frac{y^2 - x^2}{x^2 + 2}$$

Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = (y - x)(x + y)$$

Запишем все под одной дробной чертой и сократим одинаковые множители $(x^2 + 2)$ и $(x + y)$:

$$\frac{(x^2 + 2) \cdot (y - x)(x + y)}{(x + y)^2 \cdot (x^2 + 2)} = \frac{y - x}{x + y}$$

Ответ: $\frac{y - x}{x + y}$