Номер 3, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

3.Решение:

Выполним упрощение выражения по действиям: сначала найдем сумму дробей в скобках, а затем выполним умножение полученного результата на дробь перед скобками.

1) Выполним сложение в скобках:

Знаменатель первой дроби свернем по формуле квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Тогда общее выражение в скобках примет вид:

$$\frac{xy + 3}{(x - y)^2} + \frac{x}{x - y}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - y)^2$, домножив числитель и знаменатель второй дроби на $(x - y)$:

$$\frac{xy + 3 + x(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{xy + 3 + x^2 - xy}{(x - y)^2} = \frac{x^2 + 3}{(x - y)^2}$$

2) Выполним умножение дробей:

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов:

$$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$$

Заметим также, что квадрат разности обладает свойством $(x - y)^2 = (y - x)^2$. Перемножим полученные дроби:

$$\frac{y^2 - x^2}{x^2 + 3} \cdot \frac{x^2 + 3}{(x - y)^2} = \frac{(y - x)(y + x) \cdot (x^2 + 3)}{(x^2 + 3) \cdot (y - x)^2}$$

Сократим одинаковые множители $(x^2 + 3)$ и $(y - x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{y + x}{y - x} = \frac{x + y}{y - x} = -\frac{x + y}{x - y}$$

Ответ: $\frac{x + y}{y - x}$ (или $-\frac{x + y}{x - y}$)