Номер 3, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку: сначала вычитание в скобках, а затем деление.

1. Выполним действие в скобках:

$$\frac{a}{a + b} - \frac{ab}{b^2 - a^2}$$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = -(a - b)(a + b)$. Вынесем знак «минус» перед дробью, изменив знак вычитания на сложение:

$$\frac{a}{a + b} + \frac{ab}{(a - b)(a + b)}$$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - b)(a + b)$, домножив числитель первой дроби на $(a - b)$:

$$\frac{a(a - b) + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - ab + ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2}{(a - b)(a + b)}$$

2. Выполним деление:

В первой дроби свернем знаменатель по формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Получаем:

$$\frac{a^2}{(a + b)^2} : \frac{a^2}{(a - b)(a + b)}$$

Чтобы разделить дробь на дробь, умножим первую дробь на перевернутую вторую:

$$\frac{a^2}{(a + b)^2} \cdot \frac{(a - b)(a + b)}{a^2}$$

Сократим дробь на $a^2$ и на $(a + b)$:

$$\frac{\cancel{a^2} \cdot (a - b)\cancel{(a + b)}}{(a + b)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{a^2}} = \frac{a - b}{a + b}$$

Ответ: $\dfrac{a - b}{a + b}$