Номер 5, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс контрольные и самостоятельные работы Крайнева

Решение:

Пусть скорость второго теплохода равна $x$ км/ч. Так как его скорость на $1$ км/ч больше скорости первого, то скорость первого теплохода равна $(x - 1)$ км/ч. По смыслу задачи $x > 1$.

Оба теплохода прошли расстояние $110$ км:

• время движения первого теплохода: $\frac{110}{x - 1}$ ч;
• время движения второго теплохода: $\frac{110}{x}$ ч.

По условию задачи второй теплоход вышел на $1$ час позже первого, а прибыли они в пункт $B$ одновременно. Значит, второй теплоход находился в пути на $1$ час меньше, чем первый. Составим и решим уравнение:

$$\frac{110}{x - 1} - \frac{110}{x} = 1$$

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x - 1)$:

$$\frac{110x - 110(x - 1)}{x(x - 1)} = 1$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{110x - 110x + 110}{x^2 - x} = 1$$

$$\frac{110}{x^2 - x} = 1$$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$, умножим обе части уравнения на $(x^2 - x)$:

$$x^2 - x = 110$$

$$x^2 - x - 110 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 = 21^2$$

$$x_1 = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$x_2 = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Корень $x = -10$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость теплохода не может быть отрицательной величиной.

Значит, скорость второго теплохода равна $11$ км/ч.

Ответ: $11$ км/ч.