Номер 6, страница 62, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 6. Характеристики электрических цепей. Параграф 61. Сопротивление при последовательном и параллельном соединении проводников. Вопросы и задания - номер 6, страница 62.

Условие.

6. К источнику тока подключены два параллельно соединённых резистора. Возможно ли, что при увеличении сопротивлений резисторов сила тока в каком-либо из них также увеличится?

Решение.

Да, такая ситуация возможна. Это может произойти, если источник тока не является идеальным, то есть обладает внутренним сопротивлением.

Решение

Рассмотрим цепь, состоящую из источника тока с ЭДС $ \mathcal{E} $ и внутренним сопротивлением $ r $, к которому параллельно подключены два резистора с сопротивлениями $ R_1 $ и $ R_2 $.

Общее сопротивление параллельно соединенных резисторов $ R_p $ вычисляется по формуле:

$ R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $

Полное сопротивление всей цепи $ R_{полн} $ равно сумме внешнего сопротивления $ R_p $ и внутреннего сопротивления источника $ r $:

$ R_{полн} = r + R_p = r + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} $

Согласно закону Ома для полной цепи, общий ток $ I_{общ} $, протекающий от источника, равен:

$ I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{полн}} = \frac{\mathcal{E}}{r + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} $

Напряжение на клеммах источника $ U $, которое также является напряжением на параллельных резисторах, можно найти как:

$ U = I_{общ} \cdot R_p = \frac{\mathcal{E}}{r + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\mathcal{E} R_1 R_2}{r(R_1 + R_2) + R_1 R_2} $

Сила тока $ I_1 $, протекающего через первый резистор, определяется по закону Ома для участка цепи:

$ I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{\mathcal{E} R_1 R_2}{r(R_1 + R_2) + R_1 R_2} = \frac{\mathcal{E} R_2}{r(R_1 + R_2) + R_1 R_2} $

Проанализируем эту зависимость. Из формулы видно, что ток $ I_1 $ зависит как от $ R_1 $, так и от $ R_2 $. Увеличение $ R_1 $ (при постоянном $ R_2 $) увеличивает знаменатель и, следовательно, уменьшает ток $ I_1 $. В то же время, увеличение $ R_2 $ (при постоянном $ R_1 $) может привести к увеличению тока $ I_1 $ (поскольку $ R_2 $ есть в числителе, а в знаменателе его рост частично компенсируется). Таким образом, при одновременном увеличении обоих сопротивлений результат зависит от соотношения их изменений.

Покажем на конкретном примере, что ток $ I_1 $ может увеличиться.

Пусть внутреннее сопротивление источника $ r = 1 \, \text{Ом} $.

Начальное состояние:

Пусть сопротивления резисторов равны $ R_1 = 10 \, \text{Ом} $ и $ R_2 = 1 \, \text{Ом} $.

Ток $ I_1 $ равен:

$ I_1 = \frac{\mathcal{E} \cdot R_2}{r(R_1 + R_2) + R_1 R_2} = \frac{\mathcal{E} \cdot 1}{1(10 + 1) + 10 \cdot 1} = \frac{\mathcal{E}}{11 + 10} = \frac{\mathcal{E}}{21} $

Конечное состояние:

Увеличим оба сопротивления. Пусть новые значения будут $ R_1' = 11 \, \text{Ом} $ и $ R_2' = 2 \, \text{Ом} $.

Новый ток $ I_1' $ равен:

$ I_1' = \frac{\mathcal{E} \cdot R_2'}{r(R_1' + R_2') + R_1' R_2'} = \frac{\mathcal{E} \cdot 2}{1(11 + 2) + 11 \cdot 2} = \frac{2\mathcal{E}}{13 + 22} = \frac{2\mathcal{E}}{35} $

Сравним токи $ I_1 $ и $ I_1' $. Для того чтобы $ I_1' > I_1 $, должно выполняться неравенство $ \frac{2\mathcal{E}}{35} > \frac{\mathcal{E}}{21} $. Сократив на $ \mathcal{E} $ (ЭДС - величина положительная), получим $ \frac{2}{35} > \frac{1}{21} $. Умножив обе части на $ 35 \cdot 21 $, получим $ 2 \cdot 21 > 35 \cdot 1 $, то есть $ 42 > 35 $. Неравенство верное, следовательно, $ I_1' > I_1 $.

Таким образом, сила тока в первом резисторе действительно увеличилась, несмотря на то, что сопротивления обоих резисторов возросли.

Физически это можно объяснить так: при увеличении $ R_1 $ и $ R_2 $ общее внешнее сопротивление цепи возрастает. Это приводит к уменьшению общего тока $ I_{общ} $ в цепи. Уменьшение общего тока, в свою очередь, приводит к уменьшению падения напряжения на внутреннем сопротивлении источника ($ U_r = I_{общ} r $). Следовательно, напряжение $ U $ на внешнем участке цепи (на параллельных резисторах) увеличивается ($ U = \mathcal{E} - I_{общ} r $). Если относительное увеличение напряжения $ U $ окажется больше, чем относительное увеличение сопротивления $ R_1 $, то ток $ I_1 = U/R_1 $ возрастет.

Ответ:

Да, возможно. Это произойдет в том случае, если источник тока имеет внутреннее сопротивление. При одновременном увеличении сопротивлений обоих резисторов общее сопротивление цепи растет, а общий ток падает. Это приводит к увеличению напряжения на клеммах источника. Если относительный рост этого напряжения окажется больше относительного роста сопротивления одного из резисторов, то ток через этот резистор увеличится.