Номер 15, страница 71, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 18. Закон Ома для участка цепи. Удельное сопротивление вещества - номер 15, страница 71.

Условие.

15. Медный и алюминиевый провода одинакового поперечного сечения имеют равные сопротивления.

а) Длина какого провода больше и во сколько раз?

б) Масса какого провода больше и во сколько раз?

Сплавы с большим удельным сопротивлением (такие, как нихром и фехраль) используют для изготовления нагревательных элементов — например, в электрочайниках или электрокаминах.

Проволочные резисторы также изготавливают из сплавов с большим удельным сопротивлением.

Решение.

Дано:

Медный провод (индекс 1) и алюминиевый провод (индекс 2).

Площадь поперечного сечения одинакова: $S_1 = S_2 = S$.

Сопротивления равны: $R_1 = R_2 = R$.

Удельное электрическое сопротивление меди: $\rho_{е1} = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Удельное электрическое сопротивление алюминия: $\rho_{е2} = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Плотность меди: $\rho_{d1} = 8900 \text{ кг/м}^3$.

Плотность алюминия: $\rho_{d2} = 2700 \text{ кг/м}^3$.

Найти:

а) Какой провод длиннее и во сколько раз?

б) Какой провод тяжелее и во сколько раз?

Решение:

а) Длина какого провода больше и во сколько раз?

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho_e \frac{l}{S}$, где $\rho_e$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем эту формулу для медного (1) и алюминиевого (2) проводов:

$R_1 = \rho_{е1} \frac{l_1}{S_1}$

$R_2 = \rho_{е2} \frac{l_2}{S_2}$

По условию задачи, сопротивления $R_1 = R_2$ и площади сечения $S_1 = S_2$ равны. Приравняем правые части уравнений:

$\rho_{е1} \frac{l_1}{S} = \rho_{е2} \frac{l_2}{S}$

Сократив $\text{S}$, получим:

$\rho_{е1} l_1 = \rho_{е2} l_2$

Из этого соотношения найдем отношение длин проводов. Выразим отношение длины медного провода к длине алюминиевого:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\rho_{е2}}{\rho_{е1}}$

Подставим табличные значения удельных сопротивлений:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{2.8}{1.7} \approx 1.65$

Так как полученное отношение больше единицы, то длина медного провода ($l_1$) больше длины алюминиевого ($l_2$).

Ответ: Длина медного провода больше в 1.65 раза.

б) Масса какого провода больше и во сколько раз?

Масса провода рассчитывается по формуле: $m = \rho_d \cdot V$, где $\rho_d$ — плотность материала, а $\text{V}$ — объем провода.

Объем провода равен произведению его длины на площадь поперечного сечения: $V = l \cdot S$.

Тогда масса: $m = \rho_d \cdot l \cdot S$.

Запишем формулы для масс медного и алюминиевого проводов:

$m_1 = \rho_{d1} \cdot l_1 \cdot S$

$m_2 = \rho_{d2} \cdot l_2 \cdot S$

Найдем отношение их масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho_{d1} \cdot l_1 \cdot S}{\rho_{d2} \cdot l_2 \cdot S} = \frac{\rho_{d1}}{\rho_{d2}} \cdot \frac{l_1}{l_2}$

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\rho_{е2}}{\rho_{е1}}$. Подставим это выражение в формулу для отношения масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\rho_{d1}}{\rho_{d2}} \cdot \frac{\rho_{е2}}{\rho_{е1}}$

Теперь подставим числовые значения плотностей и удельных сопротивлений:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{8900 \text{ кг/м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3} \cdot \frac{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{89}{27} \cdot \frac{2.8}{1.7} \approx 3.296 \cdot 1.647 \approx 5.43$

Так как полученное отношение больше единицы, то масса медного провода ($m_1$) больше массы алюминиевого ($m_2$).

Ответ: Масса медного провода больше в 5.43 раза.