Номер 19, страница 74, часть 2 - гдз по физике 8 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава III. Электрические явления. Параграф 18. Закон Ома для участка цепи. Удельное сопротивление вещества - номер 19, страница 74.

Условие.

19. Алюминиевый провод массой 1 кг имеет сопротивление 16 Ом. Чему равны длина и диаметр провода?

Решение.

Дано:

Материал провода - алюминий

Масса провода, $m = 1$ кг

Сопротивление провода, $R = 16$ Ом

Удельное сопротивление алюминия (табличное значение), $\rho = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м

Плотность алюминия (табличное значение), $D = 2700$ кг/м³

Найти:

Длину провода $\text{L}$ и его диаметр $\text{d}$.

Решение:

Для решения задачи необходимо использовать формулу для сопротивления проводника и формулу для массы тела.

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$ (1)

где $\text{L}$ – длина провода, $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения, а $\rho$ – удельное сопротивление материала.

Масса провода связана с его объемом $\text{V}$ и плотностью $\text{D}$:

$m = D \cdot V$

Так как провод имеет форму цилиндра, его объем равен $V = S \cdot L$. Тогда формула для массы примет вид:

$m = D \cdot S \cdot L$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными: длиной $\text{L}$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$.

Из уравнения (1) выразим площадь $\text{S}$:

$S = \frac{\rho L}{R}$

Из уравнения (2) также выразим площадь $\text{S}$:

$S = \frac{m}{D L}$

Приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{\rho L}{R} = \frac{m}{D L}$

Теперь из этого уравнения можно выразить длину провода $\text{L}$:

$\rho D L^2 = m R$

$L^2 = \frac{m R}{\rho D}$

$L = \sqrt{\frac{m R}{\rho D}}$

Подставим известные значения в формулу:

$L = \sqrt{\frac{1 \text{ кг} \cdot 16 \text{ Ом}}{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 2700 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{16}{7.56 \cdot 10^{-5}}} \approx \sqrt{211640} \approx 460.04$ м.

Теперь, когда мы нашли длину, можем рассчитать площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$S = \frac{m}{D L} = \frac{1 \text{ кг}}{2700 \text{ кг/м}^3 \cdot 460.04 \text{ м}} \approx 8.05 \cdot 10^{-7}$ м².

Площадь поперечного сечения круглого провода связана с его диаметром $\text{d}$ по формуле:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Выразим из этой формулы диаметр $\text{d}$:

$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}$

Подставим значение площади $\text{S}$ и рассчитаем диаметр:

$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 8.05 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2}{\pi}} \approx \sqrt{1.025 \cdot 10^{-6}} \approx 1.012 \cdot 10^{-3}$ м.

Переведем значение диаметра в миллиметры: $1.012 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1.012 \text{ мм}$.

Округлим полученные значения до сотых.

Ответ:

Длина провода приблизительно равна 460.04 м, а его диаметр – 1.01 мм.