Номер 15.42, страница 74 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 15. Сила тока и напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 15.42, страница 74.

Условие.

15.42. В электронагревателе никелиновую проволоку площадью поперечного сечения 1 $mm^2$ заменяют нихромовой проволокой такой же длины. Какой должна быть площадь поперечного сечения нихромовой проволоки, чтобы сопротивление нагревателя осталось прежним?

Решение.

Дано:

Материал 1: никелин

Площадь поперечного сечения никелиновой проволоки: $S_1 = 1 \text{ мм}^2$

Длина никелиновой проволоки: $L_1 = L$

Удельное сопротивление никелина: $\rho_1 = 0.40 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Материал 2: нихром

Длина нихромовой проволоки: $L_2 = L$

Удельное сопротивление нихрома: $\rho_2 = 1.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Условие: $R_1 = R_2$

Перевод в СИ:

$S_1 = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$\rho_1 = 0.40 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0.40 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$\rho_2 = 1.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Площадь поперечного сечения нихромовой проволоки $S_2$.

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $\text{L}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

Для никелиновой проволоки сопротивление равно $R_1 = \rho_1 \frac{L_1}{S_1}$.

Для нихромовой проволоки сопротивление равно $R_2 = \rho_2 \frac{L_2}{S_2}$.

По условию задачи, сопротивление нагревателя должно остаться прежним, значит $R_1 = R_2$. Также известно, что длины проволок одинаковы: $L_1 = L_2 = L$.

Приравняем выражения для сопротивлений:

$\rho_1 \frac{L}{S_1} = \rho_2 \frac{L}{S_2}$

Так как длина $\text{L}$ одинакова для обеих проволок, её можно сократить в обеих частях уравнения:

$\frac{\rho_1}{S_1} = \frac{\rho_2}{S_2}$

Выразим из этого равенства искомую площадь $S_2$:

$S_2 = S_1 \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Подставим числовые значения. Удельные сопротивления взяты из справочных таблиц. Для удобства расчетов можно использовать значения удельного сопротивления в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как их отношение является безразмерной величиной, а искомая площадь получится в тех же единицах, что и данная ($\text{мм}^2$).

$S_2 = 1 \text{ мм}^2 \cdot \frac{1.1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}{0.40 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = 1 \cdot \frac{1.1}{0.40} \text{ мм}^2 = 2.75 \text{ мм}^2$

Ответ: чтобы сопротивление нагревателя осталось прежним, площадь поперечного сечения нихромовой проволоки должна быть $2.75 \text{ мм}^2$.