Номер 15.55, страница 76 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 15. Сила тока и напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 15.55, страница 76.

Условие.

15.55. Два алюминиевых провода имеют одинаковую массу. Диаметр первого провода в 2 раза больше, чем диаметр второго. Какой из проводов имеет большее сопротивление и во сколько раз?

Решение.

Дано:

$m_1 = m_2 = m$ (массы проводов)

$d_1 = 2d_2$ (диаметры проводов)

Материал проводов — алюминий, следовательно, удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{D}$ у них одинаковы.

Найти:

Какой из проводов имеет большее сопротивление и во сколько раз? – $\frac{R_{большее}}{R_{меньшее}}$

Решение:

Сопротивление проводника определяется формулой:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{L}$ – длина провода, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения.

Масса провода выражается через его объем $\text{V}$ и плотность материала $\text{D}$:

$m = D \cdot V = D \cdot S \cdot L$

Из этой формулы можно выразить длину провода $\text{L}$:

$L = \frac{m}{D \cdot S}$

Теперь подставим выражение для длины $\text{L}$ в формулу сопротивления:

$R = \rho \frac{1}{S} \cdot \left(\frac{m}{D \cdot S}\right) = \frac{\rho m}{D S^2}$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ связана с диаметром $\text{d}$ соотношением:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим это выражение для площади в нашу формулу для сопротивления:

$R = \frac{\rho m}{D \left(\frac{\pi d^2}{4}\right)^2} = \frac{\rho m}{D \frac{\pi^2 d^4}{16}} = \frac{16 \rho m}{D \pi^2 d^4}$

Так как для обоих проводов масса $\text{m}$, удельное сопротивление $\rho$ и плотность $\text{D}$ одинаковы, можно заключить, что сопротивление обратно пропорционально четвертой степени диаметра:

$R \propto \frac{1}{d^4}$

Это означает, что провод с меньшим диаметром будет иметь большее сопротивление. В нашем случае это второй провод, так как $d_2 < d_1$.

Найдем, во сколько раз сопротивление второго провода ($R_2$) больше сопротивления первого ($R_1$). Для этого составим их отношение:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{16 \rho m}{D \pi^2 d_2^4}}{\frac{16 \rho m}{D \pi^2 d_1^4}} = \frac{d_1^4}{d_2^4} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^4$

По условию задачи $d_1 = 2d_2$, следовательно, отношение диаметров $\frac{d_1}{d_2} = 2$. Подставим это значение в полученную формулу:

$\frac{R_2}{R_1} = 2^4 = 16$

Таким образом, сопротивление второго провода в 16 раз больше, чем сопротивление первого.

Ответ:

Сопротивление второго провода (с меньшим диаметром) больше в 16 раз.