Номер 15.61, страница 76 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 15. Сила тока и напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 15.61, страница 76.

Условие.

15.61. Каково сопротивление железной трубки длиной $l = 3 \text{ м}$, если внутренний диаметр трубки $d = 3 \text{ см}$, а толщина ее стенок $a = 1 \text{ мм}$?

Решение.

Дано:

Длина трубки: $l = 3$ м
Внутренний диаметр: $d = 3$ см
Толщина стенки: $a = 1$ мм
Материал трубки - железо

Система СИ:
$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$a = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м}$
Удельное сопротивление железа (справочное значение при 20°C): $\rho \approx 1.0 \cdot 10^{-7}$ Ом$\cdot$м

Найти:

$\text{R}$

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, а $\text{S}$ — площадь его поперечного сечения.

В данном случае ток протекает по стенкам железной трубки, поэтому поперечное сечение, через которое идет ток, представляет собой кольцо. Площадь этого кольца $\text{S}$ можно найти как разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

Внутренний диаметр трубки равен $\text{d}$. Внешний диаметр $\text{D}$ можно найти, прибавив к внутреннему диаметру удвоенную толщину стенки:

$D = d + 2a$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ равна:

$S = S_{внеш} - S_{внутр} = \frac{\pi D^2}{4} - \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi}{4}(D^2 - d^2)$

Подставив выражение для $\text{D}$ и применив формулу разности квадратов, получим более удобное выражение:

$S = \frac{\pi}{4}((d+2a)^2 - d^2) = \frac{\pi}{4}((d+2a)-d)((d+2a)+d) = \frac{\pi}{4}(2a)(2d+2a) = \pi a(d+a)$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ для вычисления площади сечения:

$S = \pi \cdot 0.001 \text{ м} \cdot (0.03 \text{ м} + 0.001 \text{ м}) = \pi \cdot 0.001 \text{ м} \cdot 0.031 \text{ м} = 3.1\pi \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Используя значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$S \approx 3.1 \cdot 3.14159 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2 \approx 9.7389 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Теперь мы можем рассчитать сопротивление трубки, подставив все значения в исходную формулу:

$R = (1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом}\cdot\text{м}) \cdot \frac{3 \text{ м}}{9.7389 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2}$

$R = \frac{3.0 \cdot 10^{-7}}{9.7389 \cdot 10^{-5}} \text{ Ом} \approx 0.30804 \cdot 10^{-2} \text{ Ом}$

Округляя результат до трёх значащих цифр, получаем:

$R \approx 3.08 \cdot 10^{-3} \text{ Ом}$

Это значение можно также выразить в миллиомах (мОм): $R \approx 3.08$ мОм.

Ответ: $R \approx 3.08 \cdot 10^{-3}$ Ом.