Номер 15.62, страница 76 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 15. Сила тока и напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 15.62, страница 76.

Условие.

15.62. Нужно изготовить провод длиной 100 м и сопротивлением 1 Ом. В каком случае провод получится легче: если его сделать из алюминия или из меди? Во сколько раз?

Решение.

Дано:

Длина провода, $L = 100$ м

Сопротивление провода, $R = 1$ Ом

Материал 1: алюминий (Al)

Материал 2: медь (Cu)

Справочные данные:

Удельное сопротивление алюминия, $\rho_{Al} = 0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Плотность алюминия, $d_{Al} = 2700 \frac{кг}{м^3}$

Удельное сопротивление меди, $\rho_{Cu} = 0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Плотность меди, $d_{Cu} = 8900 \frac{кг}{м^3}$

Перевод в систему СИ:

$\rho_{Al} = 0.028 \frac{Ом \cdot (10^{-3}м)^2}{м} = 2.8 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$

$\rho_{Cu} = 0.017 \frac{Ом \cdot (10^{-3}м)^2}{м} = 1.7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м$

Найти:

1. Какой из проводов легче?

2. Во сколько раз один провод легче другого?

Решение:

Массу провода можно найти по формуле $m = d \cdot V$, где $\text{d}$ — плотность материала, а $\text{V}$ — объем провода. Объем провода, имеющего форму цилиндра, равен $V = S \cdot L$, где $\text{S}$ — площадь поперечного сечения, а $\text{L}$ — длина провода. Таким образом, масса провода равна $m = d \cdot S \cdot L$.

Сопротивление провода определяется формулой $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала. Из этой формулы можно выразить площадь поперечного сечения: $S = \rho \frac{L}{R}$.

Подставим выражение для площади $\text{S}$ в формулу для массы:

$m = d \cdot (\rho \frac{L}{R}) \cdot L = \frac{d \cdot \rho \cdot L^2}{R}$

Поскольку длина $\text{L}$ и сопротивление $\text{R}$ проводов по условию задачи одинаковы, масса провода прямо пропорциональна произведению плотности материала на его удельное сопротивление ($m \sim d \cdot \rho$).

Запишем формулы для массы алюминиевого ($m_{Al}$) и медного ($m_{Cu}$) проводов:

$m_{Al} = \frac{d_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot L^2}{R}$

$m_{Cu} = \frac{d_{Cu} \cdot \rho_{Cu} \cdot L^2}{R}$

Чтобы определить, какой провод легче, сравним произведения $d_{Al} \cdot \rho_{Al}$ и $d_{Cu} \cdot \rho_{Cu}$:

$d_{Al} \cdot \rho_{Al} = 2700 \frac{кг}{м^3} \cdot 2.8 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м = 7.56 \cdot 10^{-5} \frac{кг \cdot Ом}{м^2}$

$d_{Cu} \cdot \rho_{Cu} = 8900 \frac{кг}{м^3} \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} Ом \cdot м = 15.13 \cdot 10^{-5} \frac{кг \cdot Ом}{м^2}$

Так как $d_{Al} \cdot \rho_{Al} < d_{Cu} \cdot \rho_{Cu}$ ($7.56 \cdot 10^{-5} < 15.13 \cdot 10^{-5}$), то и масса алюминиевого провода будет меньше массы медного: $m_{Al} < m_{Cu}$. Следовательно, провод из алюминия будет легче.

Теперь найдем, во сколько раз алюминиевый провод легче медного. Для этого найдем отношение их масс:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{\frac{d_{Cu} \cdot \rho_{Cu} \cdot L^2}{R}}{\frac{d_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot L^2}{R}} = \frac{d_{Cu} \cdot \rho_{Cu}}{d_{Al} \cdot \rho_{Al}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{m_{Cu}}{m_{Al}} = \frac{15.13 \cdot 10^{-5}}{7.56 \cdot 10^{-5}} \approx 1.998 \approx 2$

Таким образом, медный провод примерно в 2 раза тяжелее алюминиевого провода с такими же длиной и сопротивлением.

Ответ: Провод из алюминия получится легче. Медный провод будет тяжелее алюминиевого примерно в 2 раза.