Номер 15.63, страница 77 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 15. Сила тока и напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 15.63, страница 77.

Условие.

15.63. Из металла массой 1 кг нужно изготовить провод длиной 1 км. В каком случае сопротивление провода будет меньше (и во сколько раз): если его сделать из меди или серебра?

Когда разнородных металлов

Контакт обеспечит среда

Из водно-кислотных составов,

То ток возникает всегда!

Э. Г. Братута

Решение.

Дано:

Масса металла, $m = 1$ кг

Длина провода, $l = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Удельное сопротивление меди, $\rho_{э.м.} = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Плотность меди, $\rho_{м} = 8960 \text{ кг/м}^3$

Удельное сопротивление серебра, $\rho_{э.с.} = 1.6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Плотность серебра, $\rho_{с} = 10490 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Сравнить сопротивления медного ($R_м$) и серебряного ($R_с$) проводов и найти их отношение.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \frac{\rho_{э} \cdot l}{S}$

где $\rho_{э}$ — удельное электрическое сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Масса проводника связана с его объемом $\text{V}$ и плотностью $\rho$ материала:

$m = \rho \cdot V$

Объем провода, имеющего форму цилиндра, равен:

$V = S \cdot l$

Отсюда можем выразить массу через площадь поперечного сечения:

$m = \rho \cdot S \cdot l$

Выразим площадь поперечного сечения $\text{S}$ из этой формулы:

$S = \frac{m}{\rho \cdot l}$

Теперь подставим выражение для площади $\text{S}$ в формулу сопротивления:

$R = \frac{\rho_{э} \cdot l}{S} = \frac{\rho_{э} \cdot l}{\frac{m}{\rho \cdot l}} = \frac{\rho_{э} \cdot \rho \cdot l^2}{m}$

Из полученной формулы видно, что при одинаковой массе ($\text{m}$) и длине ($\text{l}$) провода его сопротивление ($\text{R}$) прямо пропорционально произведению удельного сопротивления ($\rho_{э}$) на плотность ($\rho$) материала.

Сравним это произведение для меди и серебра.

Для медного провода ($R_м$):

$R_м = \frac{\rho_{э.м.} \cdot \rho_{м} \cdot l^2}{m}$

Для серебряного провода ($R_с$):

$R_с = \frac{\rho_{э.с.} \cdot \rho_{с} \cdot l^2}{m}$

Чтобы определить, какое сопротивление меньше, сравним произведения $\rho_{э.м.} \cdot \rho_{м}$ и $\rho_{э.с.} \cdot \rho_{с}$.

Для меди:

$\rho_{э.м.} \cdot \rho_{м} = 1.7 \cdot 10^{-8} \cdot 8960 \approx 1.52 \cdot 10^{-4} \frac{\text{Ом} \cdot \text{кг}}{\text{м}^2}$

Для серебра:

$\rho_{э.с.} \cdot \rho_{с} = 1.6 \cdot 10^{-8} \cdot 10490 \approx 1.68 \cdot 10^{-4} \frac{\text{Ом} \cdot \text{кг}}{\text{м}^2}$

Так как $1.52 \cdot 10^{-4} < 1.68 \cdot 10^{-4}$, то сопротивление медного провода будет меньше, чем сопротивление серебряного.

Найдем, во сколько раз сопротивление медного провода меньше. Для этого найдем отношение сопротивления серебряного провода к сопротивлению медного:

$\frac{R_с}{R_м} = \frac{\frac{\rho_{э.с.} \cdot \rho_{с} \cdot l^2}{m}}{\frac{\rho_{э.м.} \cdot \rho_{м} \cdot l^2}{m}} = \frac{\rho_{э.с.} \cdot \rho_{с}}{\rho_{э.м.} \cdot \rho_{м}}$

$\frac{R_с}{R_м} = \frac{1.6 \cdot 10^{-8} \cdot 10490}{1.7 \cdot 10^{-8} \cdot 8960} = \frac{1.6 \cdot 10490}{1.7 \cdot 8960} \approx \frac{16784}{15232} \approx 1.1$

Таким образом, сопротивление провода из серебра будет примерно в 1.1 раза больше, чем из меди.

Ответ: Сопротивление провода будет меньше, если его сделать из меди. Сопротивление медного провода будет меньше сопротивления серебряного примерно в 1.1 раза.