Номер 16.4, страница 78 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 16. Последовательное и параллельное соединения проводников - номер 16.4, страница 78.

Условие.

16.4. Резисторы сопротивлением 7, 13, 29 и 127 Ом включены параллельно. Можно ли утверждать, что их общее сопротивление меньше 7 Ом?

Решение.

Дано:

$R_1 = 7 \text{ Ом}$

$R_2 = 13 \text{ Ом}$

$R_3 = 29 \text{ Ом}$

$R_4 = 127 \text{ Ом}$

Соединение резисторов — параллельное.

Найти:

Определить, верно ли утверждение, что общее сопротивление $R_{общ} < 7 \text{ Ом}$.

Решение:

При параллельном соединении резисторов величина, обратная общему сопротивлению ($1/R_{общ}$), равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого резистора, включенного в цепь. Для четырех резисторов формула выглядит следующим образом:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{7} + \frac{1}{13} + \frac{1}{29} + \frac{1}{127}$

Для ответа на вопрос задачи не требуется вычислять точное значение $R_{общ}$. Достаточно провести качественный анализ.Правая часть уравнения представляет собой сумму четырех положительных слагаемых. Сумма нескольких положительных чисел всегда больше любого из этих чисел. В частности, эта сумма будет больше первого слагаемого, которое соответствует наименьшему сопротивлению ($R_1 = 7 \text{ Ом}$):

$\frac{1}{7} + \frac{1}{13} + \frac{1}{29} + \frac{1}{127} > \frac{1}{7}$

Из этого следует, что:

$\frac{1}{R_{общ}} > \frac{1}{7}$

Чтобы сравнить $R_{общ}$ и 7 Ом, мы должны "перевернуть" дроби в обеих частях неравенства. При выполнении этой операции знак неравенства меняется на противоположный:

$R_{общ} < 7 \text{ Ом}$

Это подтверждает общее правило для параллельного соединения проводников: общее сопротивление цепи всегда меньше наименьшего из сопротивлений, входящих в данную цепь.

Ответ: Да, можно утверждать, что их общее сопротивление меньше 7 Ом, так как при параллельном соединении общее сопротивление всегда меньше наименьшего из сопротивлений.