Номер 15.60, страница 76 - гдз по физике 8 класс задачник Генденштейн, Кирик

Электромагнитные явления. 15. Сила тока и напряжение. Закон Ома для участка цепи - номер 15.60, страница 76.

Условие.

15.60. Сопротивление медной проволоки $R = 1$ Ом, ее масса $m = 1$ кг. Найдите длину проволоки $\text{l}$ и площадь ее поперечного сечения $\text{S}$. Плотность меди равна $8900$ кг/м$^3$.

Решение.

Дано:

Сопротивление медной проволоки $R = 1$ Ом

Масса проволоки $m = 1$ кг

Плотность меди $\rho_d = 8900$ кг/м³

Удельное электрическое сопротивление меди (табличное значение) $\rho_{el} = 1.68 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Длину проволоки $\text{l}$ - ?

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами:

1. Формула сопротивления проводника, которая связывает сопротивление $\text{R}$ с удельным сопротивлением материала $\rho_{el}$, длиной проводника $\text{l}$ и площадью его поперечного сечения $\text{S}$:

$R = \rho_{el} \frac{l}{S}$

2. Формула массы тела через его плотность $\rho_d$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho_d \cdot V$

Объем проволоки, имеющей форму цилиндра, можно выразить как произведение площади поперечного сечения $\text{S}$ на длину $\text{l}$:

$V = S \cdot l$

Тогда формула для массы примет вид:

$m = \rho_d \cdot S \cdot l$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\text{l}$ и $\text{S}$:

$\begin{cases} R = \rho_{el} \frac{l}{S} \\ m = \rho_d S l \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$S = \frac{m}{\rho_d l}$

Подставим это выражение для $\text{S}$ в первое уравнение:

$R = \rho_{el} \frac{l}{\frac{m}{\rho_d l}} = \frac{\rho_{el} \rho_d l^2}{m}$

Теперь из полученного соотношения выразим квадрат длины $l^2$:

$l^2 = \frac{R \cdot m}{\rho_{el} \rho_d}$

Отсюда находим длину проволоки $\text{l}$:

$l = \sqrt{\frac{R \cdot m}{\rho_{el} \rho_d}}$

Подставим числовые значения:

$l = \sqrt{\frac{1 \text{ Ом} \cdot 1 \text{ кг}}{1.68 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 8900 \text{ кг/м}^3}} = \sqrt{\frac{1}{1.4952 \cdot 10^{-4}}} \text{ м} \approx \sqrt{6688} \text{ м} \approx 81.78$ м.

Теперь, зная длину $\text{l}$, мы можем найти площадь поперечного сечения $\text{S}$, используя ранее выведенную формулу $S = \frac{m}{\rho_d l}$:

$S = \frac{1 \text{ кг}}{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 81.78 \text{ м}} \approx \frac{1}{727842} \text{ м}^2 \approx 1.374 \cdot 10^{-6}$ м².

Площадь поперечного сечения часто выражают в квадратных миллиметрах (мм²). Учитывая, что $\text{1}$ м² = $10^6$ мм², получаем:

$S \approx 1.374 \cdot 10^{-6} \cdot 10^6 \text{ мм}^2 = 1.374$ мм².

Ответ:

длина проволоки $l \approx 81.8$ м, площадь ее поперечного сечения $S \approx 1.37 \cdot 10^{-6}$ м² (или $1.37$ мм²).