Номер 3, страница 190 - гдз по физике 8 класс учебник Хижнякова, Синявина

Лабораторные работы - номер 3, страница 190.

Условие.

3. Исследование зависимости объёма газа данной массы от температуры при постоянном давлении

Цель работы: 1) измерить объём газа и его температуру в двух термодинамических состояниях; 2) доказать, что процесс изменения этих состояний соответствует изобарному процессу.

Средства измерения и материалы: стеклянная трубка, запаянная с одного конца (длиной примерно 600 мм и диаметром 8–10 мм), цилиндрический сосуд (высотой примерно 600 мм и диаметром 40–50 мм) с горячей водой (температура примерно 60 $^\circ$С), стакан с водой комнатной температуры, лабораторный термометр, измерительная линейка, пластилин.

Гипотеза исследования

Переход системы из одного термодинамического состояния в другое будет соответствовать закону Гей-Люссака, если отношение объёмов газа в двух состояниях при постоянном давлении будет равно отношению их абсолютных температур:

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$$

Конкретизируйте гипотезу, учитывая, что:

а) в опытах давление газа в трубке равно атмосферному;

б) температура газа в начальном состоянии больше температуры газа в конечном состоянии;

в) объём газа изменяется с изменением температуры;

г) отношение объёмов воздуха в трубке в первом ($V_1$) и во втором ($V_2$) состояниях равно отношению высот воздушных столбов в трубке ($\frac{l_1}{l_2}$).

Площадь $\text{S}$ сечения трубки постоянна по всей длине;

д) оценка измерений предполагает применение приближённых вычислений, поэтому абсолютные погрешности измерений не учитываются.

Порядок выполнения работы

I. Оценка результатов исследования

1. Стеклянную трубку открытым концом вверх поместите на несколько минут в цилиндрический сосуд с горячей водой (рис. 161, а). Это первое состояние системы. Определите абсолютную температуру $T_1$ горячей воды. Измерьте и запишите в таблицу для данного состояния высоту $l_1$ столба воздуха в трубке и абсолютную температуру $T_1$ горячей воды.

В первом состоянии высота столба воздуха в трубке равна длине трубки.

2. Открытый конец стеклянной трубки, находящейся в горячей воде, замажьте пластилином. После этого трубку выньте из сосуда с горячей водой и закрытым концом вниз опустите в стакан с водой комнатной температуры (рис. 161, б). Затем под водой снимите пластилин. Наблюдайте, что по мере охлаждения воздуха в трубке вода в ней поднимается. После прекращения подъёма воды в трубке (рис. 161, в) объём воздуха в ней станет равным $V_2 < V_1$, а давление – меньше атмосферного:

$$p = p_{атм} - \rho \cdot g \cdot h.$$

3. Для того чтобы давление воздуха в трубке стало равным атмосферному, погружайте её в стакан с водой до тех пор, пока уровни воды в трубке и в стакане не выравнятся (рис. 161, г). Это будет второе состояние системы при абсолютной температуре $T_2$ окружающего воздуха. Измерьте высоту $l_2$ воздуха в трубке. Данные запишите в таблицу.

4. Вычислите отношения $\frac{l_1}{l_2}$ и $\frac{T_1}{T_2}$.

Параметры первого состояния	Параметры второго состояния
$l_1$, мм	$T_1$, К	$l_2$, мм	$T_2$, К

5. Сделайте вывод о том, подтвердилась или не подтвердилась гипотеза исследования.

II. Результаты исследования с учётом погрешностей измерений

1. Для отношения $\frac{l_1}{l_2}$ определите относительную $\varepsilon_1$ и абсолютную $\Delta_1$ погрешности измерения. Относительная погрешность определяется по формуле $\varepsilon_1 = \frac{\Delta l}{l_1} + \frac{\Delta l}{l_2}$, где $\Delta l = \Delta_и l + \Delta_o l$; $\Delta_и l$ – абсолютная инструментальная погрешность измерительной линейки, равная 1 мм; $\Delta_o l$ – абсолютная погрешность отсчёта измерительной линейки. В большинстве случаев абсолютная погрешность отсчёта равна половине цены деления шкалы прибора. Зная относительную погрешность $\varepsilon_1$, можно определить абсолютную погрешность $\Delta_1$ измерения отношения высот столбов воздуха по формуле

$$\Delta_1 = \varepsilon_1 \cdot \frac{l_1}{l_2}.$$

2. Для отношения $\frac{T_1}{T_2}$ определите относительную $\varepsilon_2$ и абсолютную $\Delta_2$ погрешности измерения. Относительная погрешность определяется по формуле $\varepsilon_2 = \frac{\Delta T}{T_1} + \frac{\Delta T}{T_2}$, где $\Delta T = \Delta_и T + \Delta_o T$; $\Delta_и T$ – абсолютная инструментальная погрешность лабораторного термометра, равная 1 $^\circ$С; $\Delta_o T$ – абсолютная погрешность отсчёта лабораторного термометра. Зная относительную погрешность $\varepsilon_2$, можно определить абсолютную погрешность $\Delta_2$ измерения отношения температур воздуха в двух состояниях по формуле

$$\Delta_2 = \varepsilon_2 \cdot \frac{T_1}{T_2}.$$

3. Результаты исследований запишите в таблицу.

Параметры первого состояния				Параметры второго состояния
$l_1$, мм	$\Delta l$, мм	$T_1$, К	$\Delta T$, К	$l_2$, мм	$\Delta l$, мм	$T_2$, К	$\Delta T$, К

4. Равенство отношений $\frac{l_1}{l_2}$ и $\frac{T_1}{T_2}$ будет достоверным, если интервалы $\left[ \frac{l_1}{l_2} \pm \Delta_1 \right]$ и $\left[ \frac{T_1}{T_2} \pm \Delta_2 \right]$ имеют общие точки на числовой оси (рис. 162).

Эти интервалы частично или полностью должны перекрываться.

5. Сделайте вывод о том, подтвердилась или не подтвердилась гипотеза исследования.

Решение.

Конкретизируйте гипотезу, учитывая, что:

Гипотеза исследования заключается в проверке закона Гей-Люссака, согласно которому для данной массы газа при постоянном давлении отношение объёма газа к его абсолютной температуре является величиной постоянной ($V/T = \text{const}$). В условиях данного эксперимента это означает, что отношение объёмов воздуха в трубке в начальном ($V_1$) и конечном ($V_2$) состояниях должно быть равно отношению его абсолютных температур ($T_1$ и $T_2$):

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$

Конкретизация гипотезы с учётом условий эксперимента:

а) Давление газа в трубке в обоих состояниях поддерживается равным атмосферному. В первом состоянии (рис. 161, а) трубка открыта, и давление воздуха в ней равно атмосферному. Во втором состоянии (рис. 161, г) уровень воды в трубке и в стакане выравнивают, что также обеспечивает равенство давления воздуха в трубке атмосферному давлению. Следовательно, процесс перехода из состояния 1 в состояние 2 является изобарным.

б) Температура газа в начальном состоянии ($T_1$, температура горячей воды) больше температуры газа в конечном состоянии ($T_2$, температура воды комнатной температуры).

в) Объём газа, пропорциональный высоте столба воздуха $\text{l}$, изменяется при изменении температуры: при охлаждении объём уменьшается ($V_2 < V_1$, соответственно $l_2 < l_1$).

г) Поскольку объём воздуха в цилиндрической трубке с постоянной площадью поперечного сечения $\text{S}$ определяется как $V = S \cdot l$, отношение объёмов можно заменить отношением высот воздушных столбов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{S \cdot l_1}{S \cdot l_2} = \frac{l_1}{l_2}$.

Таким образом, конкретизированная гипотеза для проверки в данном эксперименте формулируется так: при изобарном охлаждении воздуха в трубке отношение высоты столба воздуха в начальном состоянии к высоте столба воздуха в конечном состоянии равно отношению абсолютной температуры воздуха в начальном состоянии к абсолютной температуре в конечном состоянии.

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{T_1}{T_2}$

I. Оценка результатов исследования

В ходе выполнения работы были проведены измерения параметров воздуха в двух состояниях. Результаты измерений представлены в таблице.

4. Вычислите отношения $\frac{l_1}{l_2}$ и $\frac{T_1}{T_2}$.

Для примера возьмем следующие экспериментальные данные:

Дано:

Параметры первого состояния:
Высота столба воздуха: $l_1 = 600$ мм
Температура горячей воды: $t_1 = 60^{\circ}\text{C}$

Параметры второго состояния:
Высота столба воздуха: $l_2 = 525$ мм
Температура комнатной воды: $t_2 = 20^{\circ}\text{C}$

Перевод в систему СИ (и в абсолютную шкалу температур):
$l_1 = 0.600$ м
$T_1 = t_1 + 273.15 = 60 + 273.15 = 333.15$ К $\approx 333$ К
$l_2 = 0.525$ м
$T_2 = t_2 + 273.15 = 20 + 273.15 = 293.15$ К $\approx 293$ К

Найти:

$\frac{l_1}{l_2}$, $\frac{T_1}{T_2}$

Решение:

1. Вычисляем отношение высот воздушных столбов:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{600 \text{ мм}}{525 \text{ мм}} \approx 1.143$

2. Вычисляем отношение абсолютных температур:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{333 \text{ К}}{293 \text{ К}} \approx 1.137$

Заполним таблицу на основе этих данных:

Параметры первого состояния		Параметры второго состояния
$l_1, \text{мм}$	$T_1, \text{К}$	$l_2, \text{мм}$	$T_2, \text{К}$
600	333	525	293

5. Сделайте вывод о том, подтвердилась или не подтвердилась гипотеза исследования.

Ответ:

Полученные значения отношений $\frac{l_1}{l_2} \approx 1.143$ и $\frac{T_1}{T_2} \approx 1.137$ близки друг к другу. Расхождение между ними составляет менее 1%. Это позволяет предположить, что гипотеза исследования верна. Однако для окончательного вывода необходимо провести оценку результатов с учётом погрешностей измерений.

II. Результаты исследования с учётом погрешностей измерений

1. Для отношения $\frac{l_1}{l_2}$ определите относительную $\epsilon_1$ и абсолютную $\Delta_1$ погрешности измерения.

Дано:

$l_1 = 600$ мм
$l_2 = 525$ мм
Инструментальная погрешность линейки: $\Delta_{и}l = 1$ мм
Погрешность отсчёта (половина цены деления, 1 мм): $\Delta_{о}l = 0.5$ мм

Найти:

$\epsilon_1$, $\Delta_1$

Решение:

1. Абсолютная погрешность одного измерения длины: $\Delta l = \Delta_{и}l + \Delta_{о}l = 1 \text{ мм} + 0.5 \text{ мм} = 1.5 \text{ мм}$.

2. Относительная погрешность отношения $\frac{l_1}{l_2}$ вычисляется по формуле $\epsilon_1 = \frac{\Delta l}{l_1} + \frac{\Delta l}{l_2}$:
$\epsilon_1 = \frac{1.5}{600} + \frac{1.5}{525} = 0.0025 + 0.00286 \approx 0.00536$

3. Абсолютная погрешность отношения $\frac{l_1}{l_2}$ вычисляется по формуле $\Delta_1 = \epsilon_1 \cdot \frac{l_1}{l_2}$:
$\Delta_1 = 0.00536 \cdot \frac{600}{525} \approx 0.00536 \cdot 1.143 \approx 0.006$

Ответ:

Относительная погрешность $\epsilon_1 \approx 0.00536$ (или 0.54%), абсолютная погрешность $\Delta_1 \approx 0.006$. Результат измерения отношения высот: $\frac{l_1}{l_2} = 1.143 \pm 0.006$.

2. Для отношения $\frac{T_1}{T_2}$ определите относительную $\epsilon_2$ и абсолютную $\Delta_2$ погрешности измерения.

Дано:

$T_1 = 333$ К
$T_2 = 293$ К
Инструментальная погрешность термометра: $\Delta_{и}T = 1^{\circ}\text{C} = 1$ К
Погрешность отсчёта (половина цены деления, $1^{\circ}\text{C}$): $\Delta_{о}T = 0.5^{\circ}\text{C} = 0.5$ К

Найти:

$\epsilon_2$, $\Delta_2$

Решение:

1. Абсолютная погрешность одного измерения температуры: $\Delta T = \Delta_{и}T + \Delta_{о}T = 1 \text{ К} + 0.5 \text{ К} = 1.5 \text{ К}$.

2. Относительная погрешность отношения $\frac{T_1}{T_2}$ вычисляется по формуле $\epsilon_2 = \frac{\Delta T}{T_1} + \frac{\Delta T}{T_2}$:
$\epsilon_2 = \frac{1.5}{333} + \frac{1.5}{293} \approx 0.00450 + 0.00512 \approx 0.00962$

3. Абсолютная погрешность отношения $\frac{T_1}{T_2}$ вычисляется по формуле $\Delta_2 = \epsilon_2 \cdot \frac{T_1}{T_2}$:
$\Delta_2 = 0.00962 \cdot \frac{333}{293} \approx 0.00962 \cdot 1.137 \approx 0.011$

Ответ:

Относительная погрешность $\epsilon_2 \approx 0.00962$ (или 0.96%), абсолютная погрешность $\Delta_2 \approx 0.011$. Результат измерения отношения температур: $\frac{T_1}{T_2} = 1.137 \pm 0.011$.

3. Результаты исследований запишите в таблицу.

Параметры первого состояния				Параметры второго состояния
$l_1, \text{мм}$	$\Delta l, \text{мм}$	$T_1, \text{К}$	$\Delta T, \text{К}$	$l_2, \text{мм}$	$\Delta l, \text{мм}$	$T_2, \text{К}$	$\Delta T, \text{К}$
600	1.5	333	1.5	525	1.5	293	1.5

4. Равенство отношений $\frac{l_1}{l_2}$ и $\frac{T_1}{T_2}$ будет достоверным, если интервалы... имеют общие точки на числовой оси.

Решение:

Сравним интервалы, полученные для измеренных отношений с учётом погрешностей:

Интервал для отношения высот: $[\frac{l_1}{l_2} - \Delta_1; \frac{l_1}{l_2} + \Delta_1] = [1.143 - 0.006; 1.143 + 0.006] = [1.137; 1.149]$

Интервал для отношения температур: $[\frac{T_1}{T_2} - \Delta_2; \frac{T_1}{T_2} + \Delta_2] = [1.137 - 0.011; 1.137 + 0.011] = [1.126; 1.148]$

Эти два интервала, $[1.137; 1.149]$ и $[1.126; 1.148]$, имеют общую часть (пересекаются). Область пересечения: $[1.137; 1.148]$.

Ответ:

Поскольку интервалы значений для отношений $\frac{l_1}{l_2}$ и $\frac{T_1}{T_2}$ с учётом погрешностей пересекаются, равенство $\frac{l_1}{l_2} = \frac{T_1}{T_2}$ можно считать достоверным в рамках проведённого эксперимента.

5. Сделайте вывод о том, подтвердилась или не подтвердилась гипотеза исследования.

Ответ:

В ходе лабораторной работы была исследована зависимость объёма данной массы газа от температуры при постоянном давлении. Было установлено, что отношение высот столба воздуха (пропорциональных объёму) и отношение абсолютных температур в двух состояниях равны с учётом погрешностей измерений. Доверительные интервалы для этих отношений, $[1.137; 1.149]$ и $[1.126; 1.148]$, пересекаются. Это подтверждает выдвинутую гипотезу о справедливости закона Гей-Люссака для изобарного процесса. Таким образом, цель работы достигнута, и экспериментально доказано, что для данной массы газа при постоянном давлении объём прямо пропорционален абсолютной температуре.