Номер 1.1, страница 5 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.1, страница 5.

Условие.

1.1. Когда моя лошадь подворачивает ногу, я взваливаю лошадь на плечо, и мы продолжаем движение в том же направлении, но медленнее: когда я на лошади, мы движемся со скоростью $v_1 = 120 \text{ км/ч}$, а когда лошадь на мне, со скоростью всего $v_2 = 30 \text{ км/ч}$. Чему равна наша средняя скорость, если:

а) я еду полпути, а потом несу лошадь?

б) я еду половину времени, а потом несу лошадь?

Решение.

Решение 2.

Дано

$v_1 = 120$ км/ч
$v_2 = 30$ км/ч

Перевод в систему СИ:
$v_1 = 120 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1200}{36} \text{ м/с} = \frac{100}{3} \text{ м/с} \approx 33.3 \text{ м/с}$
$v_2 = 30 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{300}{36} \text{ м/с} = \frac{25}{3} \text{ м/с} \approx 8.3 \text{ м/с}$
Для удобства расчеты будем производить в км/ч, так как все величины даны в этих единицах.

Найти:

$v_{ср}$ — среднюю скорость движения в двух случаях.

Решение

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

а) я еду полпути, а потом несу лошадь?

Пусть весь путь равен $\text{S}$. Тогда первая половина пути $S_1 = S/2$, и вторая половина пути $S_2 = S/2$.
Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.
Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.
Общее время движения: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = S \cdot (\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}) = S \cdot \frac{v_2+v_1}{2v_1v_2}$.
Теперь найдем среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{S \cdot \frac{v_1+v_2}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.
Подставим числовые значения:
$v_{ср} = \frac{2 \cdot 120 \cdot 30}{120+30} = \frac{7200}{150} = 48$ км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

б) я еду половину времени, а потом несу лошадь?

Пусть всё время движения равно $\text{t}$. Тогда первая половина времени $t_1 = t/2$, и вторая половина времени $t_2 = t/2$.
Путь, пройденный за первую половину времени: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{t}{2}$.
Путь, пройденный за вторую половину времени: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{t}{2}$.
Весь пройденный путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = v_1 \frac{t}{2} + v_2 \frac{t}{2} = \frac{t(v_1+v_2)}{2}$.
Теперь найдем среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{\frac{t(v_1+v_2)}{2}}{t} = \frac{v_1+v_2}{2}$.
Подставим числовые значения:
$v_{ср} = \frac{120+30}{2} = \frac{150}{2} = 75$ км/ч.

Ответ: 75 км/ч.