Номер 1.2, страница 5 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.2, страница 5.

Условие.

1.2. Против течения моторная лодка плывет медленнее, чем в стоячей воде, зато по течению — быстрее. Где удастся скорее проплыть одно и то же расстояние туда и обратно — в реке или в озере?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_л$ - собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде).

$v_т$ - скорость течения реки.

$\text{S}$ - расстояние, которое лодка проплывает в одну сторону.

Найти:

Сравнить общее время движения туда и обратно в озере ($t_{озеро}$) и в реке ($t_{река}$).

Решение:

Для того чтобы определить, где лодка проплывет заданное расстояние быстрее, необходимо рассчитать и сравнить общее время, затраченное на путь туда и обратно в озере и в реке.

1. Время движения в озере.

В озере вода стоячая, поэтому скорость течения равна нулю ($v_т = 0$). Скорость лодки как по направлению "туда", так и по направлению "обратно" будет равна ее собственной скорости $v_л$.

Время на путь в одну сторону: $t_1 = \frac{S}{v_л}$.

Время на обратный путь: $t_2 = \frac{S}{v_л}$.

Общее время движения в озере:

$t_{озеро} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_л} + \frac{S}{v_л} = \frac{2S}{v_л}$.

2. Время движения в реке.

В реке на скорость лодки влияет скорость течения. При движении по течению их скорости складываются, а при движении против течения — вычитаются.

Скорость по течению: $v_{по} = v_л + v_т$.

Скорость против течения: $v_{против} = v_л - v_т$.

Время на путь по течению: $t_{по} = \frac{S}{v_л + v_т}$.

Время на путь против течения: $t_{против} = \frac{S}{v_л - v_т}$.

Общее время движения в реке:

$t_{река} = t_{по} + t_{против} = \frac{S}{v_л + v_т} + \frac{S}{v_л - v_т}$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$t_{река} = \frac{S(v_л - v_т) + S(v_л + v_т)}{(v_л + v_т)(v_л - v_т)} = \frac{Sv_л - Sv_т + Sv_л + Sv_т}{v_л^2 - v_т^2} = \frac{2Sv_л}{v_л^2 - v_т^2}$.

3. Сравнение времени.

Сравним выражения для $t_{озеро}$ и $t_{река}$:

$t_{озеро} = \frac{2S}{v_л}$

$t_{река} = \frac{2Sv_л}{v_л^2 - v_т^2}$

Преобразуем выражение для $t_{река}$, чтобы сделать сравнение более наглядным:

$t_{река} = \frac{2S}{v_л} \cdot \frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2}$.

Поскольку $t_{озеро} = \frac{2S}{v_л}$, мы можем записать:

$t_{река} = t_{озеро} \cdot \frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2}$.

Так как в реке есть течение, то $v_т > 0$, и, следовательно, $v_т^2 > 0$. Это означает, что знаменатель дроби $(v_л^2 - v_т^2)$ всегда меньше ее числителя $(v_л^2)$.

Поэтому множитель $\frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2} > 1$.

Из этого следует, что $t_{река} > t_{озеро}$.

Это происходит потому, что выигрыш во времени при движении с большей скоростью по течению не компенсирует проигрыш во времени при движении с меньшей скоростью против течения. Лодка движется против течения дольше, чем по течению, и поэтому замедление "действует" на большем промежутке времени.

Ответ:

Скорее удастся проплыть одно и то же расстояние туда и обратно в озере.