Номер 1.3, страница 5 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.3, страница 5.

Условие.

1.3*. Автомобиль проехал половину пути со скоростью $v_1 = 60 \text{ км/ч}$. Следующий отрезок пути он ехал со скоростью $v_2 = 15 \text{ км/ч}$, а последний отрезок пути — со скоростью $v_3 = 45 \text{ км/ч}$. Какова средняя скорость автомобиля, если второй и третий отрезки пройдены за одинаковое время?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_1 = 60$ км/ч

$v_2 = 15$ км/ч

$v_3 = 45$ км/ч

Пусть $\text{S}$ - весь путь. Тогда путь на первом участке $S_1 = S/2$.

Путь на втором и третьем участках в сумме $S_2 + S_3 = S/2$.

Время движения на втором и третьем участках одинаково: $t_2 = t_3$.

Найти:

$v_{ср}$ - ?

Решение:

Средняя скорость автомобиля определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь, пройденный автомобилем, обозначим как $\text{S}$. Таким образом, $S_{общ} = S$.

Полное время движения складывается из времени на каждом из трех участков: $t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3$.

1. Найдем время, затраченное на первом участке. Автомобиль проехал половину пути $S_1 = S/2$ со скоростью $v_1$.

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

2. Рассмотрим движение на втором и третьем участках. Суммарный путь на этих участках составляет вторую половину всего пути: $S_2 + S_3 = S/2$.

По условию, время движения на этих участках одинаково: $t_2 = t_3$. Обозначим это время как $t'$.

Расстояния, пройденные на этих участках, равны:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot t'$

$S_3 = v_3 \cdot t_3 = v_3 \cdot t'$

Тогда суммарный путь:

$S_2 + S_3 = v_2 t' + v_3 t' = (v_2 + v_3)t'$

Приравняем это выражение к половине всего пути:

$(v_2 + v_3)t' = S/2$

Отсюда можем выразить время $t'$:

$t' = \frac{S}{2(v_2 + v_3)}$

Общее время движения на втором и третьем участках равно $t_2 + t_3 = t' + t' = 2t' = \frac{S}{v_2 + v_3}$.

3. Теперь найдем общее время движения $t_{общ}$:

$t_{общ} = t_1 + (t_2 + t_3) = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_2 + v_3}$

Приведем к общему знаменателю:

$t_{общ} = S \left( \frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3} \right) = S \frac{v_2 + v_3 + 2v_1}{2v_1(v_2 + v_3)}$

4. Наконец, рассчитаем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{S \frac{2v_1 + v_2 + v_3}{2v_1(v_2 + v_3)}} = \frac{2v_1(v_2 + v_3)}{2v_1 + v_2 + v_3}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 60 \cdot (15 + 45)}{2 \cdot 60 + 15 + 45} = \frac{120 \cdot 60}{120 + 60} = \frac{7200}{180} = \frac{720}{18} = 40$ (км/ч)

Ответ: средняя скорость автомобиля составляет 40 км/ч.