Номер 1.9, страница 6 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.9, страница 6.

Условие.

1.9. Однажды, стоя под дождем, я задумался: чему равна скорость капель? Сначала я взял отвес и убедился, что капли падают строго вертикально. Затем я сел в карету и обнаружил, что во время езды следы капель на стекле кареты наклонены под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту. Тогда я спросил у лошади, с какой скоростью она везет карету, и узнал, что эта скорость $u = 30 \text{ км/ч}$. Тут же я рассчитал скорость $\text{v}$ капель относительно земли. Чему она равна?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона следов капель к горизонту, $\alpha = 60^\circ$

Скорость кареты, $u = 30$ км/ч

Переведем скорость кареты в систему СИ:

$u = 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 30 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{300}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{25}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 8.33 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Скорость капель относительно земли, $\text{v}$

Решение:

Для решения задачи используем принцип относительности движения. Рассмотрим движение капель в двух системах отсчета: неподвижной, связанной с землей, и подвижной, связанной с каретой.

Пусть $\vec{v}$ — это вектор скорости капель относительно земли. По условию, капли падают строго вертикально, следовательно, этот вектор направлен вертикально вниз. Его модуль $\text{v}$ является искомой величиной.

Пусть $\vec{u}$ — это вектор скорости кареты относительно земли. Этот вектор направлен горизонтально, его модуль равен $u = 30$ км/ч.

Скорость капель относительно кареты, $\vec{v}_{отн}$, которую наблюдает человек в карете, находится по правилу векторного вычитания скоростей:

$\vec{v}_{отн} = \vec{v} - \vec{u}$

Это же соотношение можно представить в виде векторной суммы $\vec{v}_{отн} = \vec{v} + (-\vec{u})$. Вектор $-\vec{u}$ имеет тот же модуль, что и $\vec{u}$, но направлен в противоположную сторону (горизонтально, против движения кареты). Следы капель на стекле направлены вдоль вектора $\vec{v}_{отн}$.

Составим прямоугольный треугольник скоростей, где катетами будут векторы $\vec{v}$ (вертикальный) и $-\vec{u}$ (горизонтальный), а гипотенузой — вектор относительной скорости $\vec{v}_{отн}$.

Угол $\alpha = 60^\circ$ — это угол между следом капли (гипотенузой $\vec{v}_{отн}$) и горизонтом (катетом $-\vec{u}$). В этом треугольнике модуль скорости капель $\text{v}$ является противолежащим катетом к углу $\alpha$, а модуль скорости кареты $\text{u}$ — прилежащим катетом.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{v}{u}$

Из этой формулы выразим искомую скорость капель $\text{v}$:

$v = u \cdot \tan(\alpha)$

Теперь подставим числовые значения:

$v = 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \tan(60^\circ)$

Так как значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$, получаем:

$v = 30\sqrt{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$v \approx 30 \cdot 1.732 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 51.96 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как и в исходных данных.

Ответ: Скорость капель относительно земли равна $30\sqrt{3}$ км/ч, что составляет примерно 52 км/ч.