Номер 1.16, страница 7 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.16, страница 7.

Условие.

1.16*. Записывая свои воспоминания, я засиделся до поздней ночи при свечах. Две свечи одинаковой длины $\text{l}$ я зажег одновременно и поставил, как показано на рисунке. Скоро я заметил, что тень первой свечи (на левой стене) неподвижна, а тень второй свечи (на правой стене) укорачивается со скоростью $\text{v}$. Я сразу вычислил, через какое время останусь при одной свече и когда — в полной темноте. Попробуйте и вы ответить на эти вопросы.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная длина свечей: $\text{l}$

Расстояние от левой стены до свечи 1: $d_1$

Расстояние между свечами: $d_2$

Расстояние от свечи 2 до правой стены: $d_3$

Скорость укорачивания тени второй свечи на правой стене: $\text{v}$

Найти:

1. Время $t_1$, через которое останется одна свеча.

2. Время $t_2$, когда наступит полная темнота.

Решение:

Пусть свечи горят с постоянными скоростями $u_1$ и $u_2$. Тогда их высота в момент времени $\text{t}$ равна:

$L_1(t) = l - u_1 t$

$L_2(t) = l - u_2 t$

Тень первой свечи на левой стене отбрасывается светом от второй свечи. Высоту этой тени $H_1$ можно найти из подобия треугольников. Проведем прямую через верхушки пламени второй свечи (координаты $(d_1+d_2, L_2)$) и первой свечи (координаты $(d_1, L_1)$). Точка пересечения этой прямой с левой стеной (координата $x=0$) даст высоту тени $H_1$.

Из подобия треугольников получаем соотношение:

$\frac{H_1 - L_1}{d_1} = \frac{L_2 - L_1}{d_2}$

Отсюда высота тени:

$H_1(t) = L_1(t) + \frac{d_1}{d_2}(L_2(t) - L_1(t)) = L_1(t) (1 - \frac{d_1}{d_2}) + L_2(t)\frac{d_1}{d_2}$

По условию, эта тень неподвижна, значит, ее высота не изменяется со временем: $\frac{dH_1}{dt} = 0$.

$\frac{dH_1}{dt} = \frac{dL_1}{dt}(1 - \frac{d_1}{d_2}) + \frac{dL_2}{dt}\frac{d_1}{d_2} = 0$

Так как $\frac{dL_1}{dt} = -u_1$ и $\frac{dL_2}{dt} = -u_2$, получаем:

$-u_1(1 - \frac{d_1}{d_2}) - u_2\frac{d_1}{d_2} = 0$

$u_1\frac{d_2-d_1}{d_2} = -u_2\frac{d_1}{d_2}$

$u_1(d_1 - d_2) = u_2 d_1$. Ой, ошибка в геометрии. Вернемся к подобию. Луч света идет от пламени свечи 2 $(d_1+d_2, L_2)$, через верх свечи 1 $(d_1, L_1)$ и падает на стену $(0, H_1)$.

$\frac{H_1 - L_2}{d_1+d_2} = \frac{L_1 - L_2}{d_2}$

$H_1(t) = L_2(t) + \frac{d_1+d_2}{d_2}(L_1(t) - L_2(t)) = L_1(t)\frac{d_1+d_2}{d_2} - L_2(t)\frac{d_1}{d_2}$

Теперь возьмем производную по времени:

$\frac{dH_1}{dt} = \frac{d_1+d_2}{d_2} \frac{dL_1}{dt} - \frac{d_1}{d_2} \frac{dL_2}{dt} = 0$

$\frac{d_1+d_2}{d_2}(-u_1) - \frac{d_1}{d_2}(-u_2) = 0$

$(d_1+d_2)u_1 = d_1 u_2 \quad (1)$

Аналогично, тень второй свечи на правой стене отбрасывается светом от первой свечи. Ее высота $H_2$ находится из подобия треугольников для точек: пламя свечи 1 $(d_1, L_1)$, верх свечи 2 $(d_1+d_2, L_2)$ и тень на правой стене $(d_1+d_2+d_3, H_2)$.

$\frac{H_2 - L_1}{d_2+d_3} = \frac{L_2 - L_1}{d_2}$

$H_2(t) = L_1(t) + \frac{d_2+d_3}{d_2}(L_2(t) - L_1(t)) = L_2(t)\frac{d_2+d_3}{d_2} - L_1(t)\frac{d_3}{d_2}$

По условию, эта тень укорачивается со скоростью $\text{v}$, значит $\frac{dH_2}{dt} = -v$.

$\frac{dH_2}{dt} = \frac{d_2+d_3}{d_2}\frac{dL_2}{dt} - \frac{d_3}{d_2}\frac{dL_1}{dt} = -v$

$\frac{d_2+d_3}{d_2}(-u_2) - \frac{d_3}{d_2}(-u_1) = -v$

$\frac{d_2+d_3}{d_2}u_2 - \frac{d_3}{d_2}u_1 = v \quad (2)$

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2) для $u_1$ и $u_2$. Из (1) выразим $u_2$: $u_2 = u_1 \frac{d_1+d_2}{d_1}$.

Подставим в (2):

$\frac{d_2+d_3}{d_2} \left( u_1 \frac{d_1+d_2}{d_1} \right) - \frac{d_3}{d_2}u_1 = v$

$u_1 \left( \frac{(d_2+d_3)(d_1+d_2)}{d_1 d_2} - \frac{d_3}{d_2} \right) = v$

$u_1 \frac{d_1 d_2 + d_2^2 + d_1 d_3 + d_2 d_3 - d_1 d_3}{d_1 d_2} = v$

$u_1 \frac{d_2(d_1+d_2+d_3)}{d_1 d_2} = v \implies u_1 \frac{d_1+d_2+d_3}{d_1} = v$

Отсюда находим скорости сгорания свечей:

$u_1 = \frac{v d_1}{d_1+d_2+d_3}$

$u_2 = \frac{v d_1}{d_1+d_2+d_3} \cdot \frac{d_1+d_2}{d_1} = \frac{v(d_1+d_2)}{d_1+d_2+d_3}$

Сравнивая скорости, видим, что $u_2 > u_1$, так как $d_1+d_2 > d_1$. Это означает, что вторая свеча сгорит быстрее.

Через какое время останусь при одной свече

Это произойдет, когда сгорит вторая (более быстрая) свеча. Время ее горения $t_1$ равно:

$t_1 = \frac{l}{u_2} = \frac{l (d_1+d_2+d_3)}{v(d_1+d_2)}$

Ответ: Время, через которое останется одна свеча, равно $t_1 = \frac{l(d_1 + d_2 + d_3)}{v(d_1 + d_2)}$.

Когда — в полной темноте

Полная темнота наступит, когда сгорит и первая (более медленная) свеча. Время ее горения $t_2$ от начала эксперимента равно:

$t_2 = \frac{l}{u_1} = \frac{l(d_1+d_2+d_3)}{v d_1}$

Ответ: Полная темнота наступит через время $t_2 = \frac{l(d_1 + d_2 + d_3)}{v d_1}$.