Номер 1.19, страница 7 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.19, страница 7.

Условие.

1.19** По прямому шоссе движется автобус со скоростью $v_1 = 16 \text{ м/с}$. Впереди по ходу автобуса в поле на расстоянии $d = 60 \text{ м}$ от шоссе и $s = 400 \text{ м}$ от автобуса находится человек, который может бежать со скоростью $v_2 = 4 \text{ м/с}$. В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус? При какой наименьшей скорости человека $v_{2\min}$ это возможно? В каком направлении следует бежать с такой скоростью?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$v_1 = 16$ м/с
$d = 60$ м
$s = 400$ м
$v_2 = 4$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Направление бега, чтобы перехватить автобус.
2. $v_{2min}$ - наименьшую скорость человека, при которой это возможно.
3. Направление бега при скорости $v_{2min}$.

Решение:

Введем систему координат: ось OX направим вдоль шоссе по движению автобуса, а ось OY - перпендикулярно шоссе в сторону поля. Начало координат (0, 0) поместим в начальное положение автобуса.

В начальный момент времени $t=0$ автобус находится в точке с координатами $(0, 0)$. Человек находится в точке Ч с координатами $(x_Ч, y_Ч)$.

Из условия, расстояние от человека до шоссе $d=60$ м, значит $y_Ч = d = 60$ м. Расстояние от человека до автобуса $s=400$ м. По теореме Пифагора найдем начальную координату $x_Ч$ человека:

$s^2 = x_Ч^2 + y_Ч^2 \implies x_Ч = \sqrt{s^2 - d^2} = \sqrt{400^2 - 60^2} = \sqrt{160000 - 3600} = \sqrt{156400} \approx 395,5$ м.

Пусть человек и автобус встречаются в точке М на шоссе с координатой $(x_M, 0)$ в момент времени $\text{t}$.

За это время автобус проедет расстояние $x_M$. Время движения автобуса:

$t = \frac{x_M}{v_1}$

Человек за это же время пробежит расстояние $\text{L}$ от точки Ч$(x_Ч, d)$ до точки М$(x_M, 0)$:

$L = \sqrt{(x_M - x_Ч)^2 + (0 - d)^2} = \sqrt{(x_M - x_Ч)^2 + d^2}$

Время движения человека:

$t = \frac{L}{v_2} = \frac{\sqrt{(x_M - x_Ч)^2 + d^2}}{v_2}$

Для того чтобы они встретились, время их движения должно быть одинаковым:

$\frac{x_M}{v_1} = \frac{\sqrt{(x_M - x_Ч)^2 + d^2}}{v_2}$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x_M^2}{v_1^2} = \frac{(x_M - x_Ч)^2 + d^2}{v_2^2}$

$x_M^2 v_2^2 = v_1^2 (x_M^2 - 2x_M x_Ч + x_Ч^2 + d^2)$

Так как $x_Ч^2 + d^2 = s^2$, уравнение принимает вид:

$x_M^2 v_2^2 = v_1^2 (x_M^2 - 2x_M x_Ч + s^2)$

Перегруппируем члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x_M$:

$(v_1^2 - v_2^2)x_M^2 - (2v_1^2 x_Ч)x_M + v_1^2 s^2 = 0$

Это уравнение позволяет найти точку встречи на шоссе.

В каком направлении он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус?

Подставим числовые значения в коэффициенты квадратного уравнения:

$v_1^2 - v_2^2 = 16^2 - 4^2 = 256 - 16 = 240$

$2v_1^2 x_Ч = 2 \cdot 16^2 \cdot \sqrt{156400} = 512\sqrt{156400} \approx 202480$

$v_1^2 s^2 = 16^2 \cdot 400^2 = 256 \cdot 160000 = 40960000$

Уравнение: $240x_M^2 - 202480x_M + 40960000 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-202480)^2 - 4 \cdot 240 \cdot 40960000 \approx 4,1 \cdot 10^{10} - 3,93 \cdot 10^{10} = 1,67 \cdot 10^9$

$\sqrt{D} \approx 40960$

Корни уравнения:

$x_{M1} = \frac{202480 + 40960}{2 \cdot 240} = \frac{243440}{480} \approx 507,2$ м

$x_{M2} = \frac{202480 - 40960}{2 \cdot 240} = \frac{161520}{480} \approx 336,5$ м

Существует два возможных места встречи. Направление бега можно охарактеризовать углом $\alpha$ между траекторией человека и перпендикуляром к шоссе. Тангенс этого угла равен отношению смещения вдоль шоссе к смещению перпендикулярно шоссе:

$\tan \alpha = \frac{|x_M - x_Ч|}{d}$

Для первого случая:

$\tan \alpha_1 = \frac{|507,2 - 395,5|}{60} = \frac{111,7}{60} \approx 1,86 \implies \alpha_1 \approx 61,8^\circ$

Это направление под углом к перпендикуляру в сторону движения автобуса.

Для второго случая:

$\tan \alpha_2 = \frac{|336,5 - 395,5|}{60} = \frac{59}{60} \approx 0,98 \implies \alpha_2 \approx 44,5^\circ$

Это направление под углом к перпендикуляру в сторону, противоположную движению автобуса.

Ответ: Человек может бежать в двух направлениях. Либо под углом $\approx 61,8^\circ$ к перпендикуляру, восстановленному от шоссе, по ходу движения автобуса, либо под углом $\approx 44,5^\circ$ к тому же перпендикуляру, но против хода движения автобуса.

При какой наименьшей скорости человека $v_{2min}$ это возможно?

Чтобы квадратное уравнение имело хотя бы одно реальное решение для $x_M$, его дискриминант должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = (2v_1^2 x_Ч)^2 - 4(v_1^2 - v_2^2)(v_1^2 s^2) \ge 0$

$4v_1^4 x_Ч^2 - 4v_1^4 s^2 + 4v_1^2 v_2^2 s^2 \ge 0$

$v_1^2 x_Ч^2 - v_1^2 s^2 + v_2^2 s^2 \ge 0$

Подставляя $x_Ч^2 = s^2 - d^2$:

$v_1^2 (s^2 - d^2) - v_1^2 s^2 + v_2^2 s^2 \ge 0$

$v_1^2 s^2 - v_1^2 d^2 - v_1^2 s^2 + v_2^2 s^2 \ge 0$

$v_2^2 s^2 \ge v_1^2 d^2 \implies v_2 s \ge v_1 d$

Отсюда минимально возможная скорость человека:

$v_{2min} = \frac{v_1 d}{s} = \frac{16 \cdot 60}{400} = \frac{960}{400} = 2,4$ м/с.

Ответ: Наименьшая скорость человека, при которой он может перехватить автобус, равна $2,4$ м/с.

В каком направлении следует бежать с такой скоростью?

При минимальной скорости $v_2 = v_{2min}$ дискриминант $D=0$, и существует только одно решение для $x_M$, то есть одна точка встречи.

$x_M = \frac{2v_1^2 x_Ч}{2(v_1^2 - v_{2min}^2)} = \frac{v_1^2 x_Ч}{v_1^2 - (v_1d/s)^2} = \frac{v_1^2 \sqrt{s^2-d^2}}{v_1^2(1 - d^2/s^2)} = \frac{\sqrt{s^2-d^2}}{(s^2-d^2)/s^2} = \frac{s^2}{\sqrt{s^2-d^2}}$

Найдём направление бега, как и ранее, через угол $\alpha_{min}$ с перпендикуляром к шоссе:

$\tan \alpha_{min} = \frac{|x_M - x_Ч|}{d} = \frac{|\frac{s^2}{\sqrt{s^2-d^2}} - \sqrt{s^2-d^2}|}{d} = \frac{|\frac{s^2 - (s^2-d^2)}{\sqrt{s^2-d^2}}|}{d} = \frac{d^2/\sqrt{s^2-d^2}}{d} = \frac{d}{\sqrt{s^2-d^2}}$

Подставим числовые значения:

$\tan \alpha_{min} = \frac{60}{\sqrt{156400}} \approx \frac{60}{395,5} \approx 0,1517$

$\alpha_{min} = \arctan(0,1517) \approx 8,6^\circ$

Это направление в сторону движения автобуса. Можно также показать, что это направление перпендикулярно первоначальной прямой, соединяющей человека и автобус.

Ответ: С наименьшей скоростью следует бежать под углом $\approx 8,6^\circ$ к перпендикуляру к шоссе в сторону движения автобуса.