Номер 1.15, страница 7 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.15, страница 7.

Условие.

1.15*. От А к В по реке отправляется лодка со скоростью $v_1 = 3$ км/ч относительно воды. Навстречу лодке одновременно с ней от В к А отправляется катер со скоростью $v_2 = 10$ км/ч относительно воды. За время движения лодки от А к В катер успевает пройти дважды туда и обратно и прибывает в В одновременно с лодкой. Какова (по величине и направлению) скорость течения?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость лодки относительно воды: $v_1 = 3$ км/ч.

Скорость катера относительно воды: $v_2 = 10$ км/ч.

Найти:

Скорость течения $v_т$ (величину и направление).

Решение:

Пусть $\text{L}$ – расстояние между пунктами А и В, а $\text{t}$ – время движения лодки от А до В, которое по условию равно времени движения катера.

Скорость течения реки обозначим как $v_т$. Направление течения заранее неизвестно. Рассмотрим два возможных случая.

1. Течение направлено от А к В.

В этом случае лодка движется по течению, а катер первую часть пути (от В к А) движется против течения, а вторую (от А к В) – по течению.

Скорость лодки относительно берега: $v_{л} = v_1 + v_т$.

Время движения лодки: $t = \frac{L}{v_1 + v_т}$.

Катер проходит расстояние $\text{L}$ четыре раза: дважды против течения (от В к А) со скоростью $v_2 - v_т$ и дважды по течению (от А к В) со скоростью $v_2 + v_т$.

Время движения катера: $t = 2 \times t_{ВА} + 2 \times t_{АВ} = 2 \frac{L}{v_2 - v_т} + 2 \frac{L}{v_2 + v_т}$.

Упростим выражение для времени движения катера:

$t = 2L \left( \frac{1}{v_2 - v_т} + \frac{1}{v_2 + v_т} \right) = 2L \frac{v_2 + v_т + v_2 - v_т}{(v_2 - v_т)(v_2 + v_т)} = \frac{4Lv_2}{v_2^2 - v_т^2}$.

Приравняем время движения лодки и катера:

$\frac{L}{v_1 + v_т} = \frac{4Lv_2}{v_2^2 - v_т^2}$

Сократив $\text{L}$ (т.к. $L \neq 0$), получим:

$v_2^2 - v_т^2 = 4v_2(v_1 + v_т)$

$v_2^2 - v_т^2 = 4v_1v_2 + 4v_2v_т$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $v_т$:

$v_т^2 + 4v_2v_т + 4v_1v_2 - v_2^2 = 0$

Подставим числовые значения $v_1=3$ и $v_2=10$:

$v_т^2 + 4(10)v_т + 4(3)(10) - 10^2 = 0$

$v_т^2 + 40v_т + 120 - 100 = 0$

$v_т^2 + 40v_т + 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$v_т = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 80}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{1520}}{2} = -20 \pm \sqrt{380} = -20 \pm 2\sqrt{95}$.

Оба корня уравнения ($v_{т1} \approx -0.51$ км/ч и $v_{т2} \approx -39.5$ км/ч) отрицательны. Это противоречит нашему начальному предположению, что течение направлено от А к В (т.е. $v_т > 0$). Следовательно, наше предположение неверно.

2. Течение направлено от В к А.

В этом случае лодка движется против течения. Для того чтобы лодка могла плыть от А к В, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения: $v_1 > v_т$.

Скорость лодки относительно берега: $v_{л} = v_1 - v_т$.

Время движения лодки: $t = \frac{L}{v_1 - v_т}$.

Катер теперь движется от В к А по течению, а от А к В – против течения. Формула для времени движения катера остается той же:

$t = 2 \frac{L}{v_2 + v_т} + 2 \frac{L}{v_2 - v_т} = \frac{4Lv_2}{v_2^2 - v_т^2}$.

Приравняем время движения:

$\frac{L}{v_1 - v_т} = \frac{4Lv_2}{v_2^2 - v_т^2}$

$v_2^2 - v_т^2 = 4v_2(v_1 - v_т)$

$v_2^2 - v_т^2 = 4v_1v_2 - 4v_2v_т$

$v_т^2 - 4v_2v_т + 4v_1v_2 - v_2^2 = 0$

Подставим числовые значения:

$v_т^2 - 4(10)v_т + 4(3)(10) - 10^2 = 0$

$v_т^2 - 40v_т + 120 - 100 = 0$

$v_т^2 - 40v_т + 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$v_т = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1520}}{2} = 20 \pm \sqrt{380} = 20 \pm 2\sqrt{95}$.

Получаем два положительных корня:

$v_{т1} = 20 + 2\sqrt{95} \approx 20 + 2 \cdot 9.75 = 39.5$ км/ч.

$v_{т2} = 20 - 2\sqrt{95} \approx 20 - 2 \cdot 9.75 = 0.5$ км/ч.

Теперь проверим оба корня на соответствие физическому условию $v_1 > v_т$ (лодка должна быть в состоянии плыть против течения).

Для $v_{т1} \approx 39.5$ км/ч: условие $3 > 39.5$ не выполняется. Этот корень является посторонним.

Для $v_{т2} = 20 - 2\sqrt{95} \approx 0.51$ км/ч: условие $3 > 20 - 2\sqrt{95}$ выполняется. Этот корень является решением задачи.

Таким образом, скорость течения составляет $(20 - 2\sqrt{95})$ км/ч и направлена от пункта В к пункту А.

Ответ: Скорость течения равна $20 - 2\sqrt{95} \approx 0.51$ км/ч, направление течения – от В к А.