Номер 1.22, страница 8 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Механика. 1. Кинематика - номер 1.22, страница 8.

Условие.

1.22**. Атомное ядро летит со скоростью $\text{v}$ и распадается на два одинаковых осколка. Каков максимально возможный угол $\alpha$ между скоростью ядра и скоростью осколка, если известно, что при распаде покоящегося ядра каждый из осколков приобретает скорость $\text{u}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Скорость атомного ядра до распада: $\text{v}$

Скорость каждого из двух одинаковых осколков при распаде покоящегося ядра: $\text{u}$

Найти:

Максимально возможный угол $\alpha_{max}$ между скоростью ядра и скоростью осколка.

Решение:

Рассмотрим процесс распада в двух системах отсчета: в системе отсчета, связанной с центром масс (СЦМ), где ядро до распада покоится, и в лабораторной системе отсчета (ЛСО), где ядро до распада движется со скоростью $\vec{v}$.

В системе центра масс (СЦМ), где начальная скорость ядра равна нулю, согласно закону сохранения импульса, два одинаковых осколка должны разлетаться в противоположных направлениях с равными по модулю скоростями. По условию, модуль скорости каждого осколка в этой системе равен $\text{u}$.

В лабораторной системе отсчета (ЛСО) ядро движется со скоростью $\vec{v}$. Эта скорость является скоростью центра масс системы, и она остается постоянной и после распада. Скорость осколка в ЛСО, $\vec{v}_{оск}$, определяется по правилу сложения скоростей как векторная сумма скорости центра масс $\vec{v}$ и скорости осколка относительно центра масс $\vec{u}_{отн}$:

$\vec{v}_{оск} = \vec{v} + \vec{u}_{отн}$

Из анализа в СЦМ мы знаем, что модуль скорости $\vec{u}_{отн}$ всегда равен $\text{u}$ ($|\vec{u}_{отн}| = u$), но ее направление может быть любым.

Нам необходимо найти максимальный угол $\alpha$ между вектором начальной скорости ядра $\vec{v}$ и вектором скорости осколка $\vec{v}_{оск}$. Геометрически, вектор $\vec{v}_{оск}$ является суммой постоянного вектора $\vec{v}$ и вектора $\vec{u}_{отн}$, который имеет постоянную длину $\text{u}$ и произвольное направление. Это означает, что в пространстве скоростей конец вектора $\vec{v}_{оск}$ всегда лежит на сфере радиусом $\text{u}$, центр которой находится в конце вектора $\vec{v}$.

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{v}$ и $\vec{v}_{оск}$ будет максимальным, когда вектор $\vec{v}_{оск}$ будет касательным к этой сфере. Рассмотрим два возможных случая.

1. Случай, когда $v \ge u$

В этом случае точка начала отсчета скоростей (откуда исходят векторы) находится вне сферы или на ее границе. Максимальный угол отклонения $\alpha_{max}$ достигается, когда вектор $\vec{v}_{оск}$ является касательной к сфере. При этом векторы $\vec{v}$, $\vec{u}_{отн}$ и $\vec{v}_{оск}$ образуют прямоугольный треугольник, где гипотенузой является вектор $\vec{v}$ (с длиной $\text{v}$), а катетами — вектор $\vec{u}_{отн}$ (с длиной $\text{u}$) и вектор $\vec{v}_{оск}$. Прямой угол будет между векторами $\vec{v}_{оск}$ и $\vec{u}_{отн}$.

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике, синус угла $\alpha_{max}$ равен отношению противолежащего катета $\text{u}$ к гипотенузе $\text{v}$:

$\sin(\alpha_{max}) = \frac{u}{v}$

Следовательно, максимальный угол равен:

$\alpha_{max} = \arcsin\left(\frac{u}{v}\right)$

2. Случай, когда $v < u$

В этом случае длина вектора $\vec{v}$ меньше радиуса сферы $\text{u}$. Это означает, что начало отсчета скоростей находится внутри сферы, описываемой концом вектора $\vec{v}_{оск}$. В такой ситуации вектор скорости осколка $\vec{v}_{оск}$ может быть направлен в любую сторону, в том числе и в направлении, противоположном вектору $\vec{v}$. Максимально возможный угол отклонения от начального направления движения составит $\pi$ радиан (180°).

Следовательно, при $v < u$ максимальный угол равен:

$\alpha_{max} = \pi$

Ответ: Максимально возможный угол $\alpha_{max}$ зависит от соотношения скоростей $\text{v}$ и $\text{u}$.
Если $v \ge u$, то $\alpha_{max} = \arcsin\left(\frac{u}{v}\right)$.
Если $v < u$, то $\alpha_{max} = \pi$.